Фракталы и мультифракталы - Божокин С.В.
Скачать (прямая ссылка):
dDr.
а - /(а)
(в-!)'" (2'88) Отсюда при а > /(а) и следует вышеприведенное неравенство D^ < 0.
2.2.4 Примеры функций f(a)
Рассмотрим теперь на конкретных численных примерах вид функции мультифрактального спектра f(a). Начнем со случая неоднородного канторовского множества, зависимость Dq для которого дается формулой (2.37) и изображена на рис. 2.5. Пользуясь вышеприведенными формулами, находим сначала зависимость a(q) = dr/dq, а затем и величину f(a(q)) = qa(q) —r(q). Полученные зависимости и определяют в параметрическом виде функцию f(a). Она для этого случая изображена на рис. 2.14. Пунктирная парабола показывает квадратичную аппроксимацию с использованием формулы (2.84). Положение максимума «о определяется выражением
а0
dr dq
<7=0
In Pi + Inp2
21пЗ
0.7618.
(2.89)
Следующий пример, который мы рассмотрим, — это неоднородное канторовское множество с двумя характерными масштабами длины, изображенное на рис. 2.8. Спектр обобщенных размерностей Dq для этого случая показан на рис. 2.9. Аналогичным образом с помощью формулы (2.56) для r(q) мы можем определить функции a(q)
114 Рис. 2.14. Функция мультифрактального спектра для неоднородного канторовского множества с зависимостью Dq, показанной на рис. 2.5.
и f(a(q)) и затем с помощью этих двух параметрических уравнений построить графически функцию f(a). Она изображена на рис. 2.15. Интервал значений а, где определена функция f(a), задается нера-
A 0.4 -
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 а
Рис. 2.15. Функция мультифрактального спектра для неоднородного канторовского множества с двумя характерными масштабами длины, изображенного на рис. 2.8 и Pi = Р2 = 1/2.
венством 1/2 < а < 1. Положение максимума а0 в этом случае определяется из формулы
2
а о
Vb(Vb-I)
0.7236,
(2.90)
что близко к величине фрактальной размерности носителя множества D0 = 0.6942.
115 Давайте теперь посмотрим, как в этом конкретном примере, непосредственно анализируя статистическую сумму, можно прийти к концепции мультифрактального спектра f(a). Этот анализ является достаточно поучительным и поможет нам лучше понять основные идеи, изложенные выше. Рассмотрим здесь случай произвольных значений Pi, Р2, Iu к-
На п шаге разбиения нашего множества статистическая сумма имеет вид
q q\ п
1.
Раскроем бином в средней части этой формулы
rn(q,r) = Y с-рГр(Гт}" {іТіГтУт = 1.
771=0
(2.91)
(2.92)
Мы ожидаем, что в пределе п —>• оо величину этой суммы будет определять ее наибольший член. Чтобы его найти, необходимо решить уравнение
_д_ дт
пт JfnI Jn~m)i ^n Pl P2
(ITirm) Т
= о.
Воспользовавшись формулой Стирлинга
In n! = п In п — п,
(2.93)
(2.94)
мы находим после несложных преобразований, что уравнение (2.93) эквивалентно следующему
T
Inf////// — 1) + (/1п(рі/р2)
Hh/k) '
(2.95)
Так как мы ожидаем, что максимальное слагаемое в (2.92) определяет значение суммы, мы имеем (в пределе п —>• оо) второе уравнение
rirnmq{n-m)q
^n Pl Р2
imin-m 1I l2
1.
(2.96)
Подставляя уравнение (2.95) в уравнение (2.96), мы после некоторых алгебраических преобразований находим:
In In - In ^ - lj Ink = q (Inрх InZ2 - Inp2 InZi). (2.97)
116 Таким образом, мы видим, что для каждого значения q существует величина n/m, которая является решением уравнения (2.97) и, в свою очередь, определяет значение т с помощью формулы (2.95). Максимальный член суммы, который определяет величину т, для заданного значения q происходит из подмножества Cm, состоящего из N(m) = С™ отрезков, каждый из которых имеет одну и ту же длину 1™Ц~т. Поэтому фрактальная размерность / этого подмножества по определению должна быть найдена из уравнения
Сш ^n4U-Tny = (2>98)
ИЛИ
(п/т — 1) ]п(п/т — 1) — (п/т) Ы(п/т) * = InZ1 + (п/т -1) In J2 ' ( ^
Мера (т.е. вероятность), сопоставляемая каждому из этих отрезков, равна р™р2~т. Поэтому условие для определения показателя степени а, характеризующего вероятность заполнения ячеек в подмножестве Cm, выглядит следующим образом
ршрп-ш= (jmq-my ? ^1QQ)
ИЛИ
= Inpi + (п/т - 1) Inp2 (2 101х
а In Ii (п/т - 1) In I2' '
В результате, для любого заданного значения q мы имеем набор из N(m) отрезков, характеризуемых величиной a(q) и обладающих фрактальной размерностью f(q), которые дают доминирующий вклад в статистическую сумму. По мере изменения q различные подмножества Cm из нашего фрактального множества определяют величины r(q) и Dq. Можно показать, что уравнения (2.95), (2.97), (2.99) и (2.101) приводят нас снова к хорошо известному соотношению
T=(q-l)Dq = qa(q)-f(q). (2.102)
Рассмотрим теперь поучительный пример, в котором функция мультифрактального спектра f(a) не обращается в ноль на одной из границ своего интервала (сктіп? ^max). Он является обобщением канторовского множества с двумя характерными масштабами длины, показанного на рис. 2.8. Однако в этом случае мы разделим единичный
117 отрезок на три отрезка с длинами I2l 1\ и I2 так, что два отрезка с длиной, равной I2l расположены по краям единичного интервала, а отрезок длины Ii расположен точно посередине между ними (см. рис. 2.16). В сумме они по-прежнему составляют единичный отре-
