Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
окрестности Y± являются притягивающими. Поэтому существует некоторая
двумерная поверхность заполненная траекториями динамической системы
(1.14), входящими в особую точку Yv Согласно проведенному выше (в п. II)
исследованию, при 10/7 <[ <С со < 2 траектории в окрестности точки У\
входят в линию особых точек i\/4, касаясь поверхности Ьг (рис. 30, а), а
при 1 <
< со < 10/7 - касаясь поверхности L2, на которой лежит, в частности,
траектория X (рис. 30, б). Вследствие этого при 1 < со <
< 10/7 во всех решениях со слабым разрывом, кроме одного, лежащего на
поверхности Ьг, первые производные физических величин остаются
непрерывными, а разрыв имеют их вторые производные.
Рассмотрим автомодельные решения со слабым разрывом при
1 < со < 10/7, 4/3 < у < 5/3. При 4/3 < у < 5/3 окрестность
траектории X разбита двумерной сепаратрисой 3; выходящей из особой точки
Zз (см. рис. 29, г), на две области Ux и U2. Траектории системы (1.14) в
области иг выходят из особой точки Z2; соответствующие решения описывают
аккрецию газа на "черную дыру" (см. § 4). Траектории в области U2 выходят
из особой точки Z5 и описывают разлет газа с образованием расширяющейся
пустоты внутри газа (см. § 2). В общем случае две инвариантные
относительно системы (1.14) двумерные поверхности SP и пересекаются по
единственной траектории X, при этом поверхности
НОВЫЕ РЕШЕНИЯ В МОДЕЛИ ВСПЫШЕК ЗВЕЗД
219
пересекает обе области иг и U2. При 1 со Ю/7 все траектории на
поверхности ЗР в окрестности траектории X входят в особую точку Yt (см.
рис. 29, г). Поэтому при 1 <[ со 10/7, 4/3 < у < 5/3 пересечение
поверхности З5 с областью Ux определяет однопараметрическое семейство
траекторий, входящих при X = в особую точку Уг и выходящих при X = 0 из
особой точки Z2. Эти траектории после продолжения их отрезком траектории
X (при X ^> Х%) определяют автомодельные решения со слабым разрывом,
моделирующие распад равновесного состояния звезды (5.1), после которого
газ коллапсирует в центр с асимптотикой (4.1) (при X 0), при этом в
центре образуется "черная дыра" (растущая точечная масса). Такой тип
распада равновесия звезды сопровождается при 4/3 << у << 3/2 излучением
бесконечно большой энергии. Действительно, в равновесном состоянии (5.1)
газовый шар радиуса г при 1 < со < 10/7 обладает конечной положительной
энергией (5.8). Полная энергия шарового слоя гх < г < г2 в асимптотике
(4.1) имеет вид
Гх
= - 2^3 r(2V-3)/(v-x) |? + ¦ 2 ~ г(2 V)/(V 1) (5.20)
где положительные величины Кг и К2 выражаются через константы асимптотики
(4.1) и время L Энергия (5.19) при у <С 3/2 расходится на нижнем пределе,
т. е. при 4/3 < у < 3/2 газовый шар в асимптотике (4.1) обладает
бесконечной отрицательной энергией. Следовательно, при 4/3 < Y < 3/2, 1 <
со < 10/7 в указанных решениях при распаде равновесного состояния (5.1)
происходит потеря (излучение) бесконечно большой положительной энергии.
(Для этих решений в законе выделения энергии (5.9) константа а = - оо.)
Другой интересный класс автомодельных решений со слабым разрывом имеется
при 1 < со < 2, у << у 2 << 4/3. В этом случае двумерная поверхность Sf>
пересекается с обмотанной вокруг траектории X бесконечное число раз
двумерной сепаратрисой Z особой точки Zx по бесконечному числу
траекторий, которые, следовательно, выходят при X = 0 из особой точки Zx
и входят при X == Я* в особую точку Yv Этим траекториям, после
продолжения их при Х^> Х% отрезком траектории X, соответствуют решения со
слабым разрывом, в которых распад равновесия звезды происходит без
выделения энергии и которые гладко продолжаются до центра симметрии без
особенности. К этим решениям также применимы все выводы п. V о наличии
конечного (сколь угодно большого) числа радиальных колебаний газа.
220
АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕЙЙЕ ГАЗА В ЗВЁЗДАХ
[гй. V
При всех со: 1<со<2иу^> 1 имеются однопараметрические множества решений
со слабым разрывом и с расширяющейся пустотой внутри газа (с асимптотикой
(2.7)). При у 4/3 эти решения соответствуют траекториям, лежащим в
пересечении поверхности SP с областью U2 (см. выше). При у < 4/3
существование рассматриваемых решений следует из того, что почти все
траектории в окрестности траектории X - сепаратрисы особой точки Z5.
VII. Физическая интерпретация. В равновесном состоянии
(5.1) самогравитирующий газ заполняет все пространство 0 < г <
< оо, причем плотность газа р ->• оо при г ->• 0. Поэтому
исследованная в данном параграфе модель вспышки звезды может применяться
для моделирования нестационарного движения газа в реальных звездах только
в области 0<ro<r<;.flo<;i?, где R - радиус звезды, и на отрезке времени t
< Г0, где Т0 - время выхода ударной волны на поверхность звезды.
Степенной закон
(5.1) распределения плотности и давления является, разумеется, лишь
приближением к реальности; необходимым условием допустимости такого
приближения является устойчивость распределения (5.1) относительно
конвективных возмущений, что согласно критерию Шварцшильда [73] (dS/dr 0,
