Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
движения ударной волны М ж 1 имеет решения с радиальными пульсациями
газа, полностью аналогичные решениям, исследованным в § 5.
Особая точка Z4 является отталкивающей при (со + 1)/3 <^y<\((0 + 1)/c0,
со<^3. Сепаратрисы, выходящие из этой особой точки, описывают
автомодельные решения с расширяющейся пустотой внутри газа, имеющие
следующую асимптотику на внутренней границе (Ji^^):
Такую же асимптотику при % имеют решения, соответствующие сепаратрисам,
выходящим из отталкивающей (при y (со + 1)/со) особой точки Zb (vA = u0/z
= 0, z = т2 = 0). В асимптотике (6.14) на внутренней границе % - %г
давление р ф 0, т. е. газ вытесняется изнутри сферическим поршнем,
моделью которого может служить сильно нагретый газ, заполняющий область X
и имеющий малую плотность.
При y 4/3 имеется еще один класс решений с расширяющейся пустотой внутри
газа. Эти решения соответствуют сепаратрисам, выходящим из линии
неустойчивых особых точек X, лежащей на
2 (y - (о) -[- 1)/3) 7
-усо-ЫЧ-со
(6.14)
228
АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ
1ГЛ. Y
компоненте границы Г4 (см. рис. 26) и определенной условиями z = 0, тг +
Vi + 2 *33~--- = 0- (6.15)
Асимптотика таких решений при X Хх является неустойчивой и имеет вид
У(0-4
(6.16)
V (а-.ч)
Асимптотика (6.14) для (со + 1)/3 < Y <С 4/3 является единственной
возможной асимптотикой автомодельных решений с расширяющейся пустотой
внутри газа; для у (со + 1)/3 таких решений вообще не существует. При у
^> 4/3, со 3 автомодельные решения с расширяющейся пустотой внутри газа
имеют на внутренней границе либо устойчивую асимптотику (6.14), либо
неустойчивую асимптотику (6.16).
Ускорение а0 частиц газа в системе отсчета, связанной с движущейся
границей X = А,х, определяется формулами
2 ЩрЛ GM aQ = ах - а2 = -§----^--------,
где ускорение ах = - d2r/dt2, г = Х±Ы2^, ускорение а2 обусловлено
гравитационным притяжением материальной точки массы Л. При Х\ ^> 9/2
ускорение а0 направлено в сторону газа, в этом случае граница раздела
газа с пустотой является устойчивой (см. [128]). Если некоторое решение
задачи о вспышке в оболочке звезды имеет расширяющуюся пустоту внутри
газа, то необходимое условие устойчивости внутренней границы имеет вид
~ < (ш + 1) '
где - значение X на фронте ударной волны. Отсюда получаем, что внутренняя
граница газа в таких решениях может быть устойчива только при
М>М">(-г^±-')-)1Д,
где М = q~xl2 - число Маха движения ударной волны.
III. Исследование специального случая о> = 2. Энергия в автомодельном
адиабатическом движении идеального газа может подводиться в центре
симметрии, если решение имеет особенность при г = 0, или на границе
расширяющейся полости X = Xv За-
ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ ВСПЫШЕК В ОБОЛОЧКАХ ЗВЕЗД
229
кон выделения энергии имеет вид
2-к 2 (2-со)
(6.17)
Постоянная а зависит от самого решения; для вычисления а необходимо
сравнить энергию газового шара радиуса г в состоянии равновесия (6.1) и в
момент выхода ударной волны на его поверхность. Энергия шарового слоя гг
г < г2 в равновесном состоянии (6.1) определяется следующими формулами:
Я.
•=Ит^г-?т^)/игЧг-
г 1
(дф2: Ео = 1 ~ (У~ ^-±-1} 4лсга {Gjfy+^r(tm) \Z (6.18)
Z - СО 1
с0 = 2: Е0 = (Gjf)1^2In .
Отсюда получаем, что Е0 0 при у у2 = (со + 2^/(со + 1) и Е0 0 при у ^>
у2. Из формул (6.17), (6.18) следует, что значение параметра со = 2
является исключительным [124, 125] - в этом случае количество
выделившейся энергии Е не зависит от времени.
Автомодельные решения вида (6.2) имеют монотонную функцию - интеграл
адиабатичности [125]
<? = z(F - 6)v-i+P/?P = C1Xi-3v+frP, р= 43~3J . (6.19)
При со = 2 существует еще одна монотонная функция - интеграл энергии [7,
125]
Я = д[^-+(Г-8)(-^ + - Х-") ] = . (6.20)
Из двух монотонных функций Фи Н при со = 2 можно исключить переменную R и
тем самым получить первый интеграл F = | Н | 4"3^ф-1 динамической системы
(6.6), при этом переменная К заменяется на т = %~3. Интеграл F в
координатах (1.21) имеет вид
^ t ^0 I I ^0 ( | ^ 2
Tf + + -(y° + ir) р°
(6.21)
На траектории X интеграл F принимает постоянное значение
1 / З4 \ г-i / J 4 - Зу | \4-3V
F--
F{X) = F0 = ±-(^(-
V I 1
230
АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ
(ГЛ. V
В точках линии X первый дифференциал dF = 0, т. е. линия X состоит из
экстремумов функции F. Второй дифференциал d2F имеет вид
d2F = - F0 у2 (у -1)(4 - 3Y)-i[(3dy0 + dm2)2 +
+ 3Y-i (4 - 37)(1 - (4-)2 р*) Л*] . (6.22)
При у < 4/3 отрезок линии X от точки Z3 до точки (р0 = = 3/2) состоит,
согласно (6.22), из максимумов функции F. Поэтому поверхности уровня F =
const в окрестности отрезка Z3Y1 при у < 4/3 являются двумерными
цилиндрами и пересекают компоненту границы Г2 (ро = 0) по циклам -
замкнутым траектори-
2 D '
ям системы (6.9) в области р0 = 0, -|--------f- т2 0 . Траекто-
У 1
рии, наматывающиеся на эти циклы, определяют автомодельные решения, в
которых происходят бесконечные незатухающие радиальные колебания газа в
поле притягивающего центра, являющиеся асимптотически периодическими во
