Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
колебаний указаны в § 3 (см. (3.7) - (3.8)). При со 5/2 период (по
переменной т3) каждого колебания много меньше времени релаксации.
Найденные решения являются автомодельными возмущениями, не разрушающими
равновесия звезды (которое в целом при у < 4/3 является неустойчивым; см.
[73]). Полная энергия Е газового шара радиуса г согласно (5.8) в этих
решениях равна +оо (в зависимости от соотношения у и у4), причем энергия
этого же шара после прохождения ударной волны также равна =Ьоо, поэтому
вопрос о количестве энергии, выделяющейся согласно (5.9) в центре
симметрии, в данном случае нельзя решить путем сравнения энергии газового
шара до и после вспышки. Однако с помощью асимптотических формул (3.7) -
(3.8) можно показать, что в рассматриваемых автомодельных решениях
отсутствует направленный поток энергии в центр симметрии (см. § 3, п. I).
IV. Исследование решений задачи о вспышке звезды при
0) = 5/2. Рассматриваемый случай представляет особый интерес,
поскольку он соответствует мгновенному выделению энергии в центре
симметрии (взрыву); см. (5.9). При со = 5/2 динамическая система (1.14)
имеет, кроме монотонной функции (1.36), связанной с интегралом
адйабатичности (1.12), еще монотонную функцию "интеграл энергии" [7]:
Н = - т
У¦
-+-г _ т+4- (v°+"У+4- (-г) ] -СегЪХ-
(5.14)
При со = 5/2 все особые точки Zu кроме Z3, Z4, Z5, лежат на поверхности Н
- О, инвариантной относительно системы (1.14) и являющейся двумерной
сепаратрисой, выходящей из особой
НОВЫЕ РЕШЕНИЯ В МОДЕЛИ ВСПЫШЕК ЗВЕЗД
213
точки Z6. Особые точки Z4, Z5 лежат в области Я ]> 0 (в особой точке Z3 Я
< 0 при у < 4/3 иЯ>0 при у ]> 4/3). Линия Y (q)
(5.6). при у < 4/3 лежит в области Я < 0 (а при у ^> 4/3 - в области Я>
0). Отсюда получаем следствие.
Следствие. Задача о вспышке звезды при у < 4/3, со = = 5/2 при любом
числе Маха (1 < М < оо) движения ударной волны не имеет решений с
расширяющейся пустотой внутри газа.
При у = 4/3, со = 5/2 линия Y (q) лежит на поверхности Я = 0 -
сепаратрисе особой точки Z6, что и обусловливает исключительность
поведения решений задачи о взрыве звезды при у - 4/3 (проинтегрированной
в работе [7]). В этом случае все решения с расширяющейся пустотой внутри
газа (числа Маха М 6) выходят из особой точки Z% и имеют асимптотику
(2.8), которая не реализуется для решений при у Ф 4/3, со = 5/2. Кроме
этого, при у = 4/3, со = 5/2 решения для чисел Маха 6 }> М > 1 являются
сепаратрисами линии особых точек которая отсутствует при у Ф 4/3.
Из двух монотонных функций (1.36) и (5.14) можно образовать интеграл
системы (1.14) (ранее не использовавшийся), который в координатах (1.21)
имеет вид
F = |tf|4-3v<l?, (5.15)
F =
5 у "г у - 1
4-37 i I-v ",з (v-i)
Интеграл F на траектории X принимает постоянное значение F = F0 = у"1
(4/5)1"^33(v-i) | (4 _ Зу)/(у - 1) |4~3^, причем линия X состоит из
экстремумов функции F, т. е. первый дифференциал dF = 0. Второй
дифференциал d2F на линии X имеет вид
&F = -^03-у (у - 1)(5/4)2(4 - Зу)-1 х
X [(3dv0 + dm2f + Зу-1 (4 - Зу)(1 - (4/5)гРо) *$. (5.16)
Рассмотрим отдельно два случая: у < 4/3 и 4/3. При у < 4/3 отрезок линии
X от точки Z3 (р0 = 0) до точки Y х (р0 = = 5/4) состоит, согласно
(5.16), из максимумов функции F. Поэтому поверхности уровня интеграла F в
окрестности отрезка Z3YX на линии X являются двумерными цилиндрами и
пересекают компоненту границы Г2 (ро == 0) по циклам - замкнутым
интегральным кривым динамической системы на Г2. Интеграл F на Г2
совпадает с интегралом F± (3.6). Как отмечалось в § 3, в области т2 +
vj(y - 1) + 4/(5y) < 0 на компоненте границы Г2 все траектории
динамической системы (3.2) (у < 4/3, со - 5/2) (уровни интеграла F)
являются циклами. При убывании К (X -> 0) все циклы, согласно (1.34),
являются притягивающими (р0-^0)* Отсюда нетрудно вывести, что все решения
задачи о взрыве звезды
214
АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ
[ГЛ. V
для чисел Маха М ж 1 при X ->• 0 наматываются на циклы F = = const, р0 =
0 (см. рис. 29, б).
Решения задачи о взрыве звезды для чисел Маха М^> 1 соответствуют
траекториям системы (1.14), проходящим через линию У (д) в окрестности
точки У0 (д = 0): V = 4/(у + 1)со, z =
= 8у (у - i)(y -f- 1)-2со-2, ттъ - О. Точка У0 лежит на интегральной
кривой Н = 0 системы (1.14) на компоненте границы Г7:
* = - Y (V - 1) t'(Y> , т = 0. (5.17)
При 9/7 < у < 4/3 траектория (5.17), выходящая из точки У0, при убывании
X входит в особую точку Z6. Ноэтому все траектории выходящие из линии Y
(д) (джО, М 1), при убывании X при некотором конечном X = Хг входят в
поверхность L = 0 (поскольку линия У (q) при у < 4/3 лежит в области Н <
0; см. рис. 26). Эти траектории не имеют физического смысла, поскольку их
нельзя продолжить при X < Хг (непрерывное продолжение, очевидно,
невозможно, продолжение с разрывом требует введения ударной волны
разрежения, что также невозможно в веществе с нормальными свойствами; см.
[115]). Поэтому в рассматриваемом классе автомодельных движений газа при
