Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
в виде члена АГ3. Для получения автономной динамической системы введем
новую переменную т = Аг3. После исключения R'/R (в силу (6.3)) из
уравнений (6.4), (6.5) и разрешения полученных уравнений относительно
производных приходим к трехмерной динамической системе в переменных z, У,
т:
V = T^lhw Ь зг) + <"* + v'-v*v -Ч •
2 = (г - - ь)2) [ ' 4){s ( ^v)+ (6.6)
+ {т + F2 - V)(V - 6)} + (Я + (1 - 3y) V)(z -(V- б)2)] , m = - 3m.
§ 6] ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ ВСПЫШЕК В ОБОЛОЧКАХ ЗВЕЗД 225
Здесь
со = -7р (s + 2) + к, 6 = -
2 4 т ; т ' 3 *
Алгебраическая структура уравнений (6.6) аналогична структуре уравнений
(1.14). Поэтому качественное исследование динамической системы (6.6)
естественно провести на основе конструкций, разработанных в §§ 1-5.
Рассмотрим наиболее существенные моменты этого исследования.
Равновесное состояние газа (6.1) соответствует следующей траектории X
динамической системы (6.6):
¦то, 7 = 0. (6.7)
CD + 1
Автомодельные решения, сопряженные через ударную волну с равновесным
состоянием газа (6.1), соответствуют траекториям системы (6.6),
проходящим через линию У, которая при преобразовании Гюгонио (5.5)
переходит в линию X. Точки на линии У параметризуются переменной q -
1/М2, где М - число Маха движения ударной волны, и имеют следующие
координаты:
___4(2v -(V-1)7)(Y -1 + 2д) .___4(<о + 1) "
*¦" 9 (7+ 1)2 * т- Щ
<6-8>
Закон движения ударной волны имеет вид X = А,*, где константа X#
определяется из выражения (6.8) для переменной т = Х~3; отсюда Х% =
9у/(4q (со + 1)). Траектория X и линия У пересекаются в точке Ух (q - 1,
z = 4/9, т = 4 (со + 1)/9у, V = 0), лежащей на поверхности
непродолжимости решений L ~ = z - (V - б)2 = 0. Точка Ух принадлежит
линии особых точек /, определенной следующими условиями:
z = (V - б)2, m = (V - 6)(ЗГ - 2 у) + V - V\
Разрешение вырожденных особых точек динамической системы
(6.6) и построение компактного многообразия S осуществляются с помощью
тех же преобразований координат (1.17)-(1.33). Укажем вид динамической
системы (6.6) в координатах (1.21) (v0 = = V - б, т2 = - v0iuz"1, ро =
z"1/2). После замены переменной dxjdi = - i/v0 в координатах (1.21)
получаем систему
v0 =------ --у" Г- Зу0 - ш% Н------^ ---36 + 1?0 (vo + б) х
1 - 9у0 L
X (Уо + 6- 1)р?] ,
226 АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ [ГЛ. Y
т = i [Зу0 (1 - plvl) - у {- Зу0 - m2 + 2(c|j'-
- Зб + ^о (уо + 6)(уо Н~ б - 1) ро| + (2 -J- (уо + б)(1 - Зу))(1 - ро^о)
j,
(6.9)
ро
Ро [_ (V-1)|_ Зу" -т2+ 2{ы+я. _ 3S +
2(1-Р*ф
+ Уо (^0 4" б)(Уо + б-- 1) ро| + (2 + {Vo + б)(1 - Зу))(1- РоЧ2)] •
На компоненте границы Г2 (р<> = 0) система (6.9) имеет три особые точки:
Zx (у0= 2(ю9+1) -6 = а, т2 = 0, ро = 0),
Zz (у0 = - 6, 1Щ - 2 ^ , Ро = 0j, Z\ (Уо = пц - р0 = 0).
Особая точка Zx лежит в физической области v0 <[ 0 при а О, или у > (со +
1)/3. Собственные числа системы (6.9) в особых точках Zx, Z3, Z4
следующие (индекс у собственного числа указывает соответствующее
собственное направление):
: К, = За < 0, %mt = 2 (Ш + 9у4 >
Xp.=.1 + "±g.(?--mI; (6.10)
rj " со - 2 . Г со - 2 4 (со + 1) /4 \ "11/2
. .
Z,:Xi,, = -д- + [ -з------------------, Хр.= 1;
(6.11)
Z1:Xe. = -3oI 2(3^Ш) , К= М + з~Т(0-- (6-12)
Согласно (6.10), особая точка Z1npn(co + 1)/3 <?Y< 4/3 неустойчива и
имеет двумерную выходящую сепаратрису; соответствующие автомодельные
решения продолжаются до центра симметрии и имеют при К 0 следующую
асимптотику:
s+kVi
y = -j- Fi, Л = ,
2+s+(i-3y+fr)V, 2 (со 4-1} (6ЛЗ)
р = с2% V,-./. , Fx - ¦ эу~~ •
Особая точка Z3 при у 4/3 согласно (6.11) является седловой
и имеет двумерную выходящую сепаратрису. Траектория X в коор-
//I ол \ 2 2 (со +1)
динатах (1.21) определяется условиями v0=-------------g- > m2 =------3---
,
ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ ВСПЫШЕК В ОБОЛОЧКАХ ЗВЕЗД
227
р0 0. При А, 0 эта траектория выходит из особой точки Z3 и является
поэтому сепаратрисой, соответствующей собственному числу А,Ро.
Собственные числа , (6.11) при у < уг = ¦f+(<a-2)^12(m~4-i))'
становятся комплексно-сопряженными. В этом случае особая точка Z3 на
компоненте границы Г2 (рс = 0) является фокусом; при со 2 - это
притягивающий фокус, при со 2 - отталкивающий фокус, при со = 2 - центр.
Траектории, движущиеся в окрестности особой точки Z3, при у Yi вращаются
вокруг выходящей сепаратрисы X (6.7), на которой F = 0. Поэтому в
соответствующих им автомодельных решениях скорость газа V колеблется
около нуля, т. е. газ совершает радиальные колебания. При У <С Yi> со 2 в
автомодельных решениях реализуется сколь угодно большое, но обязательно
конечное число радиальных колебаний газа. При y < Yi* 03 2 существуют
автомодельные реше-
ния с бесконечным числом затухающих радиальных колебаний газа. При со = 2
колебания газа являются асимптотически периодическими во времени In t.
Асимптотические формулы для автомодельных колебаний идеального газа в
поле притягивающего центра выводятся так же, как и в § 3.
Задача о вспышке в оболочке звезды при y <С Уи 0 со 3 и числах Маха
