Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
при всех числах Маха (1 < М < оо) движения ударной волны имеют
расширяющуюся пустоту внутри газа с асимптотикой (2.7).
Во всех этих решениях разлет газа от центра происходит монотонно
вследствие того, что V 0 в области Dv Решения с расширяющейся пустотой
внутри газа впервые были найдены (численно при у = 5/3 и аналитически при
у = 4/3) в работах [7, 116]. Отметим, что, как показано выше, в задаче о
вспышке звезды при у < 4/3, со = 5/2 не существует решений с образованием
пустоты внутри газа.
В указанных решениях при у 4/3 полная энергия, выделившаяся при взрыве, Е
= + оо, т. е. эти решения следует рассматривать как асимптотики,
описывающие взрыв звезды при Е -+¦ оо.
Проведенный анализ показывает, что поведение решений задачи о вспышке
звезды в общем случае у =/= 4/3 (со = 5/2) качественно отличается от
проинтегрированного в работе [7] случая у - 4/3, со = 5/2, где, во-
первых, вообще нет колебаний газа, и, во-вторых, при числах Маха 1 < М 6
все решения продолжаются до центра симметрии.
V. Автомодельные решения в произвольным конечным числом радиальных
пульсаций газа. При у << 4/3, со < 5/2 особая точка Z3 на компоненте
границы Г2 (р0 = 0) является притягивающей (при у < у2 - притягивающий
фокус; см. (3.3)). Малая окрестность особой точки Z3 заполнена
сепаратрисами особых точек Z4 (или Z5, в зависимости от соотношения у и
ух; см. § 2) и Zv При у <у2 двумерная сепаратриса Z, выходящая из особой
точки Zx, пересекается с компонентой границы Г2 по спирали, бесконечно
наматывающейся на особую точку Z3 (см. рис. 29, в). Поэтому вся
НОВЫЕ РЕШЕНИЯ В МОДЕЛИ ВСПЫШЕК ЗВЕЗД
217
двумерная сепаратриса Z бесконечное число раз обматывается вокруг
сепаратрисы X, выходящей из точки Z3. Следовательно, в окрестности особой
точки У2 сепаратриса Z бесконечное число раз пересекает линию У в точках
Yt (М^) (числа Маха Мг 1 при i оо) (см. рис. 29, в). Таким образом,
доказано, что при
Y < Y2> Ю/7 < со < 5/2 существует бесконечная последовательность
чисел Маха движения ударной волны Мг- 1, для которых решения задачи о
вспышке звезды продолжаются до центра симметрии и имеют при к - 0
асимптотику (2.1). В этих решениях энергия массы газа за ударной волной
равна энергии этой же массы газа в состоянии равновесия (поскольку в
центре г = 0 асимптотика (2.1) не имеет особенности и течение газа всюду
является адиабатическим). Поэтому найденные решения соответствуют
взрывному типу разрушения равновесия звезды без выделения энергии. Первое
решение такого типа ("динамический взрыв равновесия") было указано в
явном виде при у = 7/6, со = 12/5 в работе [7], для этого решения М2 =
15/2 и колебания газа отсутствуют.
Все решения для чисел Маха М: Мг- М Mi+1 являются сепаратрисами особой
точки Z4 (или Z5) и, следовательно, имеют расширяющуюся с асимптотикой
(2.7) пустоту внутри газа. Соответствующие траектории динамической
системы (1.14) совершают некоторое конечное число N (М) оборотов вокруг
траектории X, на которой V = 0; поэтому в этих решениях безразмерная
скорость газа V обращается в нуль 2N (М) раз. Вдоль линий тока газа,
согласно (5.18), имеем dlnr/dr3 = - F, следовательно в рассматриваемых
решениях все частицы газа совершают N(М) колебаний. Число оборотов
траекторий вокруг линии X N (М) -+¦ оо при М 1, поэтому при у < у2, со <
5/2 существуют решения задачи о вспышке звезды с произвольным конечным
числом колебаний газа после прохождения ударной волны. Колебания газа
переходят затем в монотонное расширение газа от центра, которое для
дискретного множества значений чисел Маха ударной волны М происходит с
асимптотикой (2.1), а для всех остальных значений чисел Маха - с
асимптотикой (2.7).
VI. Автомодельные решения со слабым разрывом. В предыдущих разделах
были изучены автомодельные решения, описывающие различные типы распада
равновесия звезды после прохождения ударной волны. Рассмотрим новый тип
распада равновесия звезды, в котором нет ударных волн, а по покоящемуся в
состоянии (5.1) газу распространяется слабый разрыв, за которым решение
является автомодельным. В точках слабого разрыва, по определению (см.
[7]), все физические параметры газа (р, р, у, Л и энтропия S) остаются
непрерывными, а некоторые их производные имеют разрыв. Траектории
динамической системы (1.14), соответствующие рассматриваемым решениям,
входят в особую
218
АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ
[ГЛ. V
точку Yt при X = Я* (Я* определяется из (5.7) при q = 1) и при X > Я*
продолжаются отрезком траектории X (5.4). Закон движения поверхности
слабого разрыва есть X - Я*.
При со > 2 особая точка У1? согласно (5.11), является седловой и поэтому
в точку Yt входит единственная траектория X, т. е. искомых решений со
слабым разрывом при со > 2 не существует.
Рис. 30. Поведение траекторий динамической системы (1.14) в окрестности
особой точки Yx: а) у > 1, 10/7 < со < 2; б) у > 1, 1 < со < 10/7.
При 1 < со < 2 особая точка Ух и все особые точки на линии IJi в
