Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
фазовый портрет динамической системы на компоненте границе Г8 (рис. 28).
§ 4. Автомодельная аккреция самогравитирующего газа
на центр
Автомодельные решения, описывающие при t оо аккрецию (падение)
самогравитирующего газа на центр, соответствуют сепаратрисам особых точек
Z2, Z10, X (у = 5/3) и Х2 (у - 4/3). Укажем асимптотики аккреции,
соответствующие сепаратрисам этих особых точек.
Сепаратрисы, выходящие из отталкивающей при 4/3 < у <С
< 5/3 особой точки Z2, имеют при 0 (?->¦ оо) следующую устойчивую
асимптотику:
Сепаратрисам, выходящим из отталкивающей при 1 < у < 5/3 особой точки
Z10, соответствует устойчивая при А,->0 (?->• оо) асимптотика
М = r3-Mj р = Агг-а, v = (AG)'/* С3г1_и/2,
о ¦ СО
(3.12)
Л = А3/"GC3"(r))/2(з-(c))/
р = (^G)i/(v-D<o 1_Л. c1(72r-i/(v-i)fa(i/(v-i)B-i))
,// = (AG)3^-Jg- fa(3-(r)"/"B,
(4.2)
§ 4J \ АККРЕЦИЯ САМОГРАВИТИРУЮЩЕГО ГАЗА НА ЦЕНТР 205
\
\ с
\ р = (Л6г)(4+3У)/2Ю r-3V/2^(4+SV)/C0~49
v ,v = - (AG)3/2со.
Особые точки на линии 5? (у = 5/3) (р0 = 0, /и? = - ^ (3 + + у?)/2, - оо
^ 0) являются отталкивающими и имеют сле-
дующие собственные числа: ЯРо = -3^/2, Х2 = -их, Х3 = 0. Сепаратрисы,
выходящие из этих особых точек, имеют при X ->• 0 (?->• оо) следующую
устойчивую асимптотику
Л = (AGf!(r)
(3 - (c)) (3 + "?) Cl р = (4G)"/*"аг-4ф-(tm)у", а = J^,1' , (4.3)
р = (4G)'J/20) -у- V = yj. (4G)3'20) Cir-'/^(3-<")/<B.
В асимптотиках (4.1) - (4.3) газ падает на центр за конечное время. В
центре г = 0 образуется точечная масса, растущая со временем. Поэтому эти
асимптотики описывают в классической теории аккрецию газа на "черную
дыру". При этом в центре симметрии давление, плотность, температура и
скорость газа бесконечны. В асимптотике (4.1) число Маха течения газа М -
>• 0, в асимптотике (4.2) М ->• оо, а в асимптотике (4.3) М | vx | при X
->¦ 0. Особым точкам на линии %2 (у = 4/3) соответствует устойчивая
асимптотика аккреции (2.5) (при т2 3 (со - 1)/(о). В этой асимптотике газ
падает на центр за бесконечное время, масса в центре М (0) - 0 и "черная
дыра" не образуется.
Проведенное в §§ 2-4 полное исследование всех особых точек динамической
системы на многообразии S показывает, что асимптотиками (4.1) - (4.3) и
(2.5) исчерпываются все возможные асимптотики автомодельной аккреции.
Таким образом, автомодельная аккреция самогравитирующего газа на центр
при 1 < Y < 4/3 имеет при t00 асимптотику (4.2); при у = 4/3 возможны две
асимптотики (2.5) и (4.2); при 4/3 < у < 5/3 возможны две асимптотики
(4.1) и (4.2); при у - 5/3 реализуется асимптотика (4.3). При у ^> 5/3
автомодельной аккреции самогравитирующего газа не существует.
Используя построенные в § 3 фазовые портреты динамической системы на
компонентах границы Г2 и Г8, можно получить полное (при всех 0 <С X < оо)
качественное описание некоторых автомодельных решений, в которых
отсутствуют ударные волны. Действительно, согласно фазовому портрету рис.
27 при а> > 2 и 4/3 < у3 = 2 (со - 1)/3 (со - 2) < у < 5/3 (в этом случае
со 8/3) имеется целая область многообразия 5, заполненная
206
АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ
[ГЛ. V
устойчивыми траекториями, выходящими при X ->¦ 0 ш отталкивающей особой
точки Z2 и входящими при X ->¦ оо в притягивающую особую точку Zx. В
соответствующих автомодельных решениях газ при t 1 разлетается от центра
с астрзтотикой (2.1), затем при возрастании t происходит поворот
направления движения газа и при дальнейшем возрастании t газ/надает на
центр (на "черную дыру") за конечное время, при это]?/реализуется
асимптотика аккреции (4.1). /
При 4/3 < Т <С Тз особая точка Zx является седловой (см.
§ 2) и имеет одномерную выходящую сепаратрису, которая лежит на
компоненте границы Г7 и входит (при со > 2) в притягивающую особую точку
Z7 (см. рис. 26). Поэтому при 4/3 < у < у3, со 2 имеется область 5,
заполненная устойчивыми траекториями, выходящими при X ->¦ 0 из
отталкивающей особой точки Z2 и входящими при Х->- оо, после движения
вдоль сепаратрис Z2Zb ZXZ7, в притягивающую особую точку Z7. Эти решения
имеют при t 1 асимптотику разлета (2.6), в остальном они подобны
описанным выше решениям.
При тех же значениях параметров у, со находим, что имеется целая область
многообразия 5, заполненная устойчивыми траекториями, выходящими при X -
>¦ Xi из отталкивающей особой точки Z6 и входящими при X ->¦ оо, после
движения вдоль сепаратрис Z6Z4, Z4ZX при Уз <. у <. 5/3 (и вдоль
сепаратрис Z5Z4, Z4Zb ZXZ7 при 4/3 < у <С уз), в притягивающую особую
точку Zx (соответственно Z7). В соответствующих решениях газ монотонно
разлетается от центра, причем на бесконечности г реализуется асимптотика
разлета (2.1) (соответственно (2.6)), а внутри газа образуется
расширяющаяся с асимптотикой (2.7) пустота.
Описанные два класса решений разделяются неустойчивой двумерной
сепаратрисой, выходящей при X ->¦ 0 из седловой особой точки Z3 и
входящей при ^ оо в притягивающую особую точку Zx (Z7). Соответствующие
автомодельные решения описывают неустойчивый процесс формирования
