Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
9/7 < у < 4/3, со = 5/2 не существует решений задачи о вспышке звезды для
чисел Маха ударной волны М 1.
При у = 9/7 точка Y0 совпадает с особой точкой Z7, которая также всегда
лежит на линии (5.17). При 1 < у <С 9/7 траектория (5.17), выходящая из
точки У0, при Х->- 0 входит в особую точку Zx. Поэтому все траектории,
выходящие из линии У (q) (q ~ 0, М 1), при убывании X также оказываются в
окрестности особой точки Zj и, поскольку они лежат в области Н < 0,
наматываются на предельные циклы F = const, р0 = 0. В этих решениях (М
1) функция V (X) при Х-> 0 изменяется от конечного максиму-ма Fjj. <
4/(5у) до сколь угодно большого отрицательного минимума.
В решениях, соответствующих траекториям, наматывающимся на предельные
циклы, газ после прохождения ударной волны совершает незатухающие
колебания. Действительно, вдоль линий тока газа
d In г ЛТ 4 In Л/ dx% _ " /рг j пч
-mr=v=vо + х, -да-=Уо, -тот = - 1; (5*18)
отсюда d In r/dx3 = -{v0 4/5). В окрестности цикла изменение
In г за период одного колебания In г л? - (j) (v0 + */ъ) = А.
Обозначим В = (j) (щ2-12/57)йт3. Из системы (3.2) при ю = 5/2 следует,
что - ЗА + В = 0, -4А + уВ е= 0; отсюда при у Ф 4/3
новые РеШейий в Модели йСПЫШек звезд
215
А = В = 0 для всех циклов. Таким образов, в процессе колебаний газа
дрейфа не происходит.
Период колебаний в окрестности особой точки Z3 в переменной т3
приближенно равен Г0 = 5я (у/12(4 - Зу))1/*. Во времени t, согласно
(5.18), колебания газа замедляются; периоды последовательных колебаний
возрастают в геометрической прогрессии с показателем ехр Т0. Амплитуда А0
колебаний In г для решений сМ^1 имеет порядок А0 -Т 0 (М - I)3/2. В
решениях сМ^>1 (1 < 9/7) имеем А0 - 2 [3 (у - 1)(4 - Зу^Чп Мпри М-
^оо.
Отметим, что описанные колебания реализуются в классе автомодельных
решений и качественно отличаются от строго периодических колебаний
однородных газовых шаров, использующихся в качестве модели пульсаций
переменных звезд-цефеид [132]. В частности, в найденных решениях при
фиксированном t скорость газа v при г 0 имеет бесконечно много нулей и
плотность газа роо, однако полная масса газа в окрестности центра г = О
конечна и изменяется как CW2 (см. асимптотические формулы для
автомодельных колебаний газа (3.7) - (3.8)).
Указанные решения, так же как и в исследованном выше случае у < 4/3, со
5/2, являются автомодельными возмущениями, при которых звезда пульсирует
в окрестности равновесного распределения (5.1), хотя полная энергия
газового шара Е = + оо (см. (5.8)). Найденные решения на любом конечном
отрезке t и на отрезке 0 < гг г < г2 являются устойчивыми и могут быть
использованы, даже и вне связи с задачей о взрыве, в качестве модели
замедляющихся пульсаций газа в недрах звезды (с постоянной амплитудой).
При у у 4/3, согласно (5.16), отрезок Z?f1 линии X состоит из седел
функции F, причем окрестность отрезка Z3Yг разбита поверхностью уровня F
= F0 на четыре области: две области Ог, D2, в которых F F0, и две области
Ds, Z>4, в которых F > F0. Поверхность F = F0 является однолистной
поверхностью, поскольку из (5.15) следует, что на этой поверхности р0 -
однозначная функция v0, пг2. Пересечение поверхности F = FQ с компонентой
границы Г2 состоит из четырех сепаратрис особой точки Z3, изображенных на
рис. 26. Область Dx при р0 = 0 вырезает треугольник Д, ограниченный
сепаратрисами Z4Z3, Z8Zlt ZiZ4. Покажем, что проекция любой траектории в
области Dx на плоскость v0, пг2 не пересекает сепаратрис Z8Z1? Z4Z3.
Действительно, поскольку в точках этих сепаратрис F - F0, Н 0, то в любой
точке над ними, где р0 0, из (5.15) получаем F F0. Далее, в треугольнике
Д функция V У 0, поэтому во всей области Dx также
V у 0 (аналогично можно показать, что в области D2 V < 0).
На линии Y (q) интеграл F монотонно возрастает от 0 до F0:
F(Y(q))=F о
я (т + *)?+1
(5.19)
(2у " (V - !) ?)(? - 1 + 2?)?
216
АВТОМОДеЛьЙОЕ ДВЙЖЕЙЙЕ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ
[ГЛ. V
и функция V 0. Поэтому линия Y (q), 0 < q < 1, целиком лежит в области Dx
при Н }> 0. Опишем геометрию этой области. Пересечение области Вг с
границей Г ограничено сепаратрисами Z3Zl9 Z]Z7Ze, Z6Z6, Z5Z4, Z4Z3 (см.
рис. 26). Область Ог является замкнутой инвариантной относительно системы
(1.14) областью многообразия S, целиком лежащей в "дозвуковой" части L 0
(это следует из того, что функция F (5.15) на поверхности L = 0: Ро = |
v0 | над треугольником А в области Я 0 имеет единственный экстремум -
минимум в точке Yг (F (Y±) = ^о))"
В области D± имеется единственная отталкивающая особая точка Z5 и
единственная притягивающая особая точка Z7. Все остальные особые точки в
этой области, Zx, Z3, Z4, Z6, неустойчивы, и их сепаратрисы лежат на
границе области Dx. Поэтому, вследствие наличия монотонной функции Фд
(1.36), все траектории в области Z)b в частности все траектории,
проходящие через линию Y (q), выходят из особой точки Z5. Тем самым
доказана следующая теорема.
Т е о р е м а. Все решения задачи о вспышке звезды при у 4/3, со = 5/2
