Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
полной энергии (5.8) газового шара радиуса г в равновесном состоянии и
его энергии в момент выхода ударной волны на поверхность шара; таким
образом, а является функцией от числа Маха движения ударной волны М. В
некоторых случаях константа а оказывается бесконечной. Соответствующие
решения являются асимптотиками очень сильного взрыва (Е 1).
И. Исследование особой точки Yx = Y (1). Для изучения решений задачи о
вспышке звезды при числах Маха М ж 1 необходимо исследовать поведение
траекторий динамической системы (1.14) в окрестности точки Yx = Y (1):
z = -V. т= 8((Й-^1)-. V =0. (5.10)
со2 усо2 ' '
Точка Yx лежит на поверхности непродолжимости решений L = 0 и является
неподвижной точкой отображения (5.5). В этой точке пересекаются три линии
- линия Y (q) (5.6), траектория X (5.4) и линия особых точек IJ4. Точка
Yx делит линию Y (q) и траекторию X на две части, лежащие в "дозвуковой"
(L > 0) и "сверхзвуковой" (L < 0) областях многообразия S. Ниже мы
исследуем расположение отрезка Y (д), 0 < q < 1, лежащего в "дозвуковой"
области.
Собственные числа (1.37) в особой точке Y\ принимают вид Хг = 20у (0 - 2)
со"3, Х2 = -8уоГ2, Xs - 0. (5.11)
Собственные числа особых точек на линии 1г1^ близких к У19
разумеется, получаются из (5.11) непрерывным изменением. Система (1.14)
имеет две инвариантные двумерные поверхности Ьг и L2, проходящие через
линию особых точек IJ4 и заполненные сепаратрисами этих особых точек,
отвечающими собственным числам Хг и Х2. Траектория X в "дозвуковой"
области 0 является входящей сепаратрисой особой точки Yx и лежит на
поверхности Ь9.
2i0 автомодеЯьйое движенйё газа в ЗВЕЗДАХ / [ГЛ. V
Покажем, что отрезок линии Y (д), 0 < g < 1, вуЬкрестности особой точки
Yx при со 10/7 лежит (в "дозвуковой" области) между поверхностями Lx и
Ь2. Обозначим 1Х, /2 и д3 собственные векторы, отвечающие собственным
числам Хх, Х2 и Д3 (5.11) (вектор 1а касается линии особых точек 1Х1^), и
пусть у'- вектор, касательный к линии Y (q) в точке Yx. Координат^ (6z,
8m, 6F) этих векторов имеют вид
I . /2_ 5 (у - 1)(со - 2) - 4(0 _ 8 (со - 1)(у + 1)
, \
ь [ со 7<о - 10 ' у (7со -10) ' J '
1*: ( 2 (<в - 1) '
^ . /___4_ _ 4 (со - 1) + 6у - у со
3 \ со ' усо
у: - 2Ам-1>(у + 1)., 1\
^ V " усо ' ;
Поверхность в точке Yx касается двумерной плоскости Р1У проходящей через
векторы 1Х и Z3, а поверхность Ь2 касается плоскости Р2, проходящей через
векторы 12 и Z3. Нетрудно вычислить следующие определители:
Di = det (h, 13, у) = 5(C0M2(7b^ + 1) (Зсо - 10),
D, = det (h, h, h) = - т , (5.13)
Z?3 - det (i/, Z3, Z2) = Z)2.
Поскольку D2-Dз, то вектор i/ лежит по ту же сторону от плоскости Р2, что
и вектор 1Х. Поскольку при со 10/7 sign Dx~ = sign D2i to вектор у лежит
по ту же сторону от плоскости РХ1 что и вектор 12. Следовательно, при со
10/7 вектор у лежит между плоскостями Рх и Р2, т. е. линия Y (q) в
окрестности точки Ух лежит между поверхностями Ьх и Ь2 (рис. 29, а, б,
в).
Все траектории динамической системы (1.14), идущие в окрестности
траектории X и не лежащие на поверхности L2, при приближении к линии 1Х14
при со 10/7 отклоняются от поверхности Ь2 и оказываются в малой
окрестности поверхности Lx (это следует из того, что кх^> Х2 при со >
10/7). Поскольку при со ]> 10/7 линия Y находится между поверхностями Lx
и L2, то некоторый отрезок Yx Y(q0) (q0 <С 1, числа Маха М ^ 1) на линии
Y целиком пересечен траекториями, двигавшимися ранее в окрестности
траектории X. Это обстоятельство вместе с тем, что траектория X выходит
из особой точки Z3, лежащей на компоненте границы Г2, позволяет подробно
исследовать решения задачи о вспышке звезды при числах Маха движения
ударной волны М"1. При этом суще-
1, о),
(5.12)
*)•
си) б) в) г
Ряс. 29. К решению задачи о вспышке звезды при числах Маха движения
ударной волны М ^ б) у < 4/3, со = 5/2; в) у < у2, со < 5/2; г) 4/3 < у <
5/3, 1 < со < 10/7,
1; ") V < Та.
212 АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ / [ГЛ. Y
/
ственно используются фазовые портреты рис. 27 динамической системы на Г2
(см. § 3). /
III. Автомодельные решения с бесконечными Затухающими радиальными
пульсациями газа. Особая точка Z# при у < 4/3, со > 5/2 является
отталкивающей (см. (3.3)). Поэтому вся окрестность траектории X заполнена
сепаратрисами этой особой точки и, следовательно, все решения задачи о
вспышкб звезды для чисел Маха М ^ 1 при К 0 (t ->• оо) стремятся к
равновесному состоянию (5.1) (см. рис. 29, а). При приближении к
равновесному состоянию скорость газа v при у < у2 - 4 [3 + (2со - 5)2/8
(со -
- I)]-1 имеет бесконечное число колебаний около нуля; см. (3.6) (в
этом случае особая точка Z3 на компоненте границы Г2 (р0 = 0) является
отталкивающим фокусом; см. рис. 29, в). Таким образом, при у < у2, со 5/2
в решениях задачи о вспышке звезды при М ^ 1 газ после прохождения
ударной волны начинает пульсировать, причем все частицы газа совершают
бесконечное число затухающих колебаний. Асимптотические формулы для этих
