Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
имеют вид Хг = - 14/62, Х2 = = - 35/62, Хв - 0. Траектория (2.3) является
входящей сепаратрисой особой точки /0, соответствующей собственному числу
Хи и лежит на гладкой двумерной поверхности Ьх, проходящей, (в
окрестности точки 10) через линию IJ4 (см. § 5). Все траектории, близкие
к траектории (2.3) вне поверхности L = 0, продолжаются через линию особых
точек /х/4 (поскольку особые точки в окрест-
Н
РЕШЕНИЯ СО СХОДЯЩИМИСЯ УДАРНЫМ# ВОЛНАМИ
233
ности /0 являются притягивающими: Хх <[ О, Х2 <С 0) и касаются
поверхности Ьг (поскольку Хх Х,2); таким образом, эти траектории остаются
близкими к траектории (2.3) и при продолжении через особые точки линии В
частности, все траектории, проходящие в окрестности особой точки Z9, при
убывании X оказываются (пройдя через линию особых точек 1г14) в
окрестности точки Вг.
Окрестность особой точки Z9 разделена входящей (при оо) в эту точку
двумерной сепаратрисой L3 (см. § 2) на две области Vx и V2. Траектории,
выходящие из области F1? при возрастании X входят в притягивающую особую
точку Z8; траектории, выходящие из области F2, при возрастании X входят в
поверхность непродолжимости решений L = 0 (см. рис. 26 и 33) и поэтому не
имеют физических применений. Двумерная сепаратриса Ь3 при убывании X
определяет некоторую поверхность Ь3, пересекающую линию У (5.6) в точке В
г. Все траектории, выходящие из области У1? при убывании X находятся по
одну сторону от поверхности Ь3', а траектории, выходящие из области F2,
находятся по другую сторону. Вледствие этого отрезок линии У по одну
сторону от точки Вг целиком пересечен- траекториями, вышедшими (при
убывании X) из области Vx, а по другую сторону точки Вг целиком пересвт
чен траекториями, вышедшими из области V2.
Проведенные рассуждения доказывают существование траекторий B^IqZs (см.
рис. 33), проходящих в окрестности траектории
(2.3) через линию У и через область Vv Эти траектории и определяют
решение задачи о движении сходящейся ударной волны по покоящемуся газу.
Действительно, пусть В2 - точка, сопряженная с В[ при преобразовании
(5.5) (В2 лежит на траектории X). Автомодельное решение, определенное
после замены t - t, v р->- - v отрезками траекторий Z3B2, BXI0Z8,
удовлетворяет всем условиям рассматриваемой задачи. Отметим, что в силу
непрерывности поведения траекторий динамической системы (1.14) такие же
решения существуют и при всех значениях у, со, близких к у = 7/6, со =
12/5.
Полученные решения (при у, со, близких к 7/6, 12/5 и числах Маха движения
ударной волны М ж (15/2)1/2) описывают процесс сжатия звезды ударной
волной, при котором после прохождения ударной волны при t -*¦ - 0
устанавливается состояние (3.12), являющееся некоторым возмущением
исходного равновесного со* стояния (5.1), причем скорость газа v -> 0 при
оо. Найденные решения имеют слабый разрыв (теряют аналитичность) при
продолжении через линию особых точек в точках /0. Можно показать, что в
окрестности у = 7/6, со = 12/5 существует бесконечно много значений у,
со, для которых имеется некоторое аналитичное всюду (кроме ударной волны)
решение рассматриваемой задачи.
234
АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ
[ГЛ. V
И. Приведем еще один точный пример двойственных решений. Рассмотрим точку
пересечения линии Y (5.6) с компонентой границы r8(z = 0):
YJz = О, т = 1,6(о)~1)а-, V=- ¦. * ).
\ (у - 1) со2 ' (V - 1) СО j
При со = со0 = (2^ - 1) / 2 (y - 1) траектория динамической
системы (1.14), проходящая через точку У2, интегрируется явно: z = 0, т =
У2/2 (см. § 3). Эта траектория проходит через особые точки Z8 и Z10 (см.
рис. 33); ей соответствует точное решение
¦' = -TF- Р= ' Р = 0-
(7.2)
где функция V (X) 0 определена уравнением
У"1 (1 + ЗУ/2)1-(r)/3 - Я(r)/2. (7.3)
Решение (7.2) описывает при t У 0 коллапс холодного газа с обра^ зованием
в центре "черной дыры" (см. (4.2)).
Пусть В3 - точка, сопряженная с точкой Y2 в силу преобразования (5.5) (В3
лежит на траектории X). Отрезки траекторий Z3B3, Y2Z8 (см. рис. 33)
определяют решение с расходящейся ударной волной. В этом решении на
ударной волне X - Хг, где определяется из (7.3) при V = 4со /(у - 1); при
0 X Хг
газ находится в равновесном состоянии (5.1), при X ]> Яг решение
описывает коллапс холодного газа (7.2), причем при оо решение является
равновесным (с асимптотикой (3.12)) и скорость газа v 0 при у < 3/2. В
целом это решение описывает образование покоящейся звезды в результате
разогрева коллапсирующего холодного газа ударной волной.
Двойственное решение соответствует траекториям Zlf>Y 2 ,B3Zq и после
замены t ->• - ?, - и описывает при 0 <[ X
(отрезок Zl0Y2) идущий от центра поток холодного газа, причем в центре,
согласно асимптотике (4.2), имеется убывающая при t - 0 точечная масса -
аналог "белой дыры" в классической теории. При X У Х± (отрезок B3ZS)
решение является равновесным состоянием (5.1). Таким образом, это решение
описывает режим сжатия "белой дыры" ударной волной, при котором газ
