Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
продолжается на компоненту границы Г2, которая является инвариантным
многообразием динамической системы. При этом все особые точки
динамической системы, лежащие на компоненте границы Г2, оказываются
невырожденными. Это означает, что преобразования (1.21)-(1.23) дают
полное разрешение вырожденной особой точки Ох.
Для разрешения вырожденной особой точки 02 (и = v0 = = т0 = 0) сделаем
следующие преобразования координат (ниже
В координатах (1.24)-(1.26) вместо особой точки 02 вклеивается двумерная
плоскость (М0 = 0, координаты v5 0 и и3 > 0 произвольны), являющаяся
компонентой границы Г3 (М0 = 0) многообразия S, Компонента границы Г3,
так же как и Гх и Г2, является инвариантным многообразием динамической
системы (1.14) на многообразии S. Динамическая система на компоненте
границы Г3 имеет наряду с невырожденными особыми точками одну вырожденную
особую точку 03 (ух = и = М2 = 0). Для разрешения этой особой точки
сделаем следующие преобразования координат:
В координатах (1.27) - (1.29) вместо особой точки 03 вклеивается
двумерная плоскость (М2 = 0, координаты v5 0, иь > 0 произвольны),
являющаяся компонентой границы Г4 (М2 = 0) многообразия 5. Эта компонента
границы, так же как и компоненты границы Г1? Г2, Г3, является
инвариантным многообразием динамической системы на многообразии S. Все
особые точки динамической системы, лежащие на компоненте границы Г4,
являются
М0 = ml = -т (V - 2 со))
v0m
и
dt
Vo, и2 = - -
vo
1
т
и
т
и
v0m
1
(1.25)
11'
г", (1.27)
м
т
1
и
U'
188
АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ
[ГЛ. V
невырожденными. Это означает, что преобразования (1.24)-
(1.29) дают полное разрешение вырожденной особой точки 02-Для разрешения
линии вырожденных особых точек I (и = ив = = vb =vQ = 0, 0 <; М0 ^ оо) в
окрестности М0 = 0 введем следующие координаты (см. (1.26)):
v6 = -±, u2 = -f=-±-, М0, ^ = (1.30)
*=-гчг' ^-з1)
В окрестности М0 - оо введем координаты (см. (1.19))
v0 щ и 1 w /i оо\
у2 = _, Ы2==__ = __, ,1 = -, т" (1.32)
2^2 ^0 ^ //I ООч
^-^ir' И1==1^г> ^ т*- (°3>
В координатах (1.30) - (1.33) вместо линии I вклеивается двумерная
плоскость (v6 = 0, координаты и2 > 0, М0 > 0 произвольны), являющаяся
компонентой границы Г5 многообразия S. Динамическая система (1.14) в
координатах (1.30)-(1.33) и соответствующих переменных xt гладко
продолжается на компоненту границы Г5, являющуюся инвариантным
многообразием динамической системы. Все особые точки динамической системы
на многообразии S, лежащие на компоненте границы Г5, являются
невырожденными, т. е. преобразования (1.30) - (1.33) дают полное
разрешение линии вырожденных особых точек Z.
После проделанных преобразований координат (1.17) - (1.33) легко
завершить построение замкнутого трехмерного многообразия 5.
Замкнутое трехмерное многообразие S покрыто системами координат (1.17) -
(1.33) и выделяется в них естественными условиями:
т), Vi < 0; ии ти Ми рь (д, > 0.
Граница Г многообразия S состоит из восьми компонент Г* (i = = 1, . . .,
8). Условия, выделяющие компоненты границы Г* и системы координат,
продолжающиеся на Г*, имеют вид
Гу. (i = 0 (1.18) - (1.20); Г2: vt = 0 (1.21) - (1.23);
Г3: АГ0 - 0 (1.24) - (1.26); Г4: М2 = 0 (1.27) - (1.29);
Г5: и = 0 (1.30) - (1.33); Г6: v0 = 0 (1.17);
Г7: т = 0 (1.16); Г8: z = 0 (1.16).
III. Преобразование динамической системы. Динамическая система на
многообразии S определяется после преобразования системы (1.14) в
локальные карты (1.17) - (1.33). Выполняя эти
§ 1] РАЗРЕШЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 189
преобразования, легко убедиться, что система (1.14) гладко продолжается
(в соответствующей переменной т;) на компоненты границы Г*. При этом все
компоненты границы Г* и их пересечения являются инвариантными
подмногообразиями динамической системы на многообразии S.
При дальнейшем исследовании наиболее часто используются преобразования
динамической системы (1.14) в двух локальных картах (1.21) и (1.27).
Укажем эти преобразования в явном виде. Система (1.14) в координатах
(1.21) и переменной т3 имеет вид
г'0 =--------- - Г (4-- -----) - 3yv0 - упг2 +
y(i~vyQ) 1Л о) со ; ^
+ ТУо (уо + ^ (уо +- l) ро] , (1-34)
+ 2y2v0 (i7o + -§¦) (ye + i- *) Р* + 47 (l + Уо) Уор? +
2у (2 - Зу0) (1 - ^сРо)] >
Ы ~ 27(1 - [^ - 2г - -I- 1 (г -1 )Ш,-
_2Т (1 + + Lzl?i,0)y*p;_
- У(У- l)Vo(vo + -^)(vo + - i)po] •
Система (1.14) в координатах (1.27) и переменной т3 имеет
вид
= - т ц [2т - ^ +
+ vV. f + - (¦>""' + v)) +
+ 2yv%2 (l + + Ц^^и2) J ,
1Щ =----------- Г 2y -- - yViU2 - у 2пг2 +
7(1 -v\uL) Iх " r
+ y (2 - IT- 3v*u*)(l - v*u*) + гЦ(y4"2 + (^w2 + -|-)) +
+ 2yv\u2 (l + + Цг^2)1 ,
r л I1-35)
" = - [4 ~ ~ ~ 2та"' + v (T -1) та - 2T -
- V (T - 1) v, ((w.u* + - (щ'г + A)) _
_2v**(l + i^+1^2p.u')].
190
АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ
[ГЛ. V
IV. Особые точки динамической системы на многообразии 8.
Нетрудно проверить, что следующие функции Фц изменяются монотонно вдоль
траекторий системы (1.14):
