Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
седловыми и не имеют сепаратрис, проходящих внутри физической области; на
компоненте границы Г2 (р0 - 0) особая точка А также является седловой, а
особая точка В является притягивающей. Особая точка Z2 {vx = 0, ms = = (у
- l)"1, р2 = 0) имеет следующие собственные числа:
Эта особая точка имеет сепаратрисы, проходящие внутри физической области,
при 4/3 <7 <С 5/3, и является при этом отталкивающей. Выходящие из особой
точки Z2 сепаратрисы при 4/3 < у <
< 5/3 определяют устойчивую асимптотику аккреции газа на центр,
которая обсуждается в § 4.
Динамическую систему на компоненте границы Г2 (р0 - 0) удобно рассмотреть
в координатах у0, иг2, в которых она имеет вид
Особая точка Z3 (v0 = -2/со, т2 - 4 (со - 1)/усо, р0 = 0) имеет следующие
собственные числа:
К т> = я± = {2(0 - 5 ± [(2(0 - 5)2 - 8 (со -1) (4 - ЗуУуР'} еГ1,
Особая точка Z3 является отталкивающей при у < 4/3, 5/2 <; со <[ <3 и
неустойчивой при у < 4/3, 1 <С со <С 5/2 я у 4/3, 1 < <С со < 3.
Сепаратрисы, выходящие из особой точки Z3, имеют в указанных случаях
размерности 3, 1 и 2 соответственно. Для исследования модели вспышек
звезд оказывается существенным следующее обстоятельство. Выходящая из
особой точки Z3 одномерная сепаратриса, соответствующая собственному
числу ЯРо =
- 1, интегрируется явно и является следующей траекторией X системы
(1.14):
---- -3i?o ни j = Р
+ 4v0 + ym2j = Q.
(3.2)
(3.3)
(3.4)
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА Г2 И Г8
199
Траектории X соответствует точное решение уравнений газовой дцнамцки,
описывающее равновесное состояние газа:
Остальные сепаратрисы, выходящие из особой точки Z3, описывают
приближение газа при Я -> 0 (t -> оо) к равновесному состоянию (3.5).
При у <С у2 = 4 [3 + (2со - 5)2/8 (со - I)]-1 < 4/3 собственные числа Х+
(3.3) комплексные, т. е. особая точка Z3 на компоненте границы Г2 (ро =
0) является фокусом и все траектории в ее
Рис. 27. Фазовые портреты динамической системы (3.2) на компоненте
границы Г2: а) у > 4/3, 1 < (о < 3; 6) у < 4/3, (о < 5/2; в) у < 4/3, (о
= 5/2; г) у < 4/3, 5/2 < (о < 1 + Зу/2; д) у < 4/3, 1 +- Зу/2 < (о < 3.
окрестности (кроме выходящей сепаратрисы X) вращаются вокруг этой точки
(при 1 <С со <С 5/2, у < у2 фокус Z3 является притягивающим (на плоскости
р0 = 0), а при 5/2 <С со <С 3, у <С у2 - отталкивающим)" В
соответствующих решениях скорость газа v колеблется около нуля (поскольку
в особой точке Z3 имеем V = 0) и газ совершает радиальные колебания.
При у У 4/3 особая точка Z3 на компоненте границы Г2 согласно (3.3)
является седловой. В этом случае фазовый портрет динамической системы
(3.2) на Г2 однозначно определяется свойствами особых точек и указан на
рис. 27, а. При у < 4/3 собственные числа Xjj. (3.3) имеют одинаковый
зцак вещественных частей, eq-
р- (со - 1) (3 - со) Г-
ra(i-co) g _ гз-ш у = 0.
* 3 - (о *
(3.5)
200
АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ
[ГЛ. V
этому для установления фазового портрета динамической системы
(3.2) необходимо исследовать наличие у этой системы предельных циклов.
Система (3.2) принадлежит к общему классу двумерных динамических систем
вида х - xLXl у = уЬ2, где и Ь2 - линейные функции от х, г/, изученному в
работе [130]. Следуя методу работы [130], найдем, что для функции
справедливо тождество
Отсюда, согласно критерию Дюлака - Бендиксона, следует, что система (3.2)
на компоненте границы Г при со Ф 5/2 не имеет замкнутых траекторий (а
также сепаратрисных циклов). Этот факт вместе с полученной выше
информацией об особых точках Zl7 z2,z3,z4, АшВ позволяет полностью
восстановить фазовый портрет динамической системы (3.2). В зависимости от
значений параметров 7, со фазовые портреты показаны на рис. 27.
Случай со = 5/2 является особым: в этом случае динамическая система (3.2)
имеет первый интеграл
При у < 4/3, со = 5/2 особая точка Z3 на компоненте границы Г2 является
центром: Re Х± = 0. Интеграл Fx в точке Z3 имеет минимум. Поэтому все
траектории динамической системы (3.2), совпадающие с линиями уровня
интеграла F±, в области 4/(5у) + + У</(Т ~ 1) + т2 <С 0 являются
замкнутыми кривыми (см. рис. 27, в).
Таким образом, при 5/2 ^ со < 3, у < 4/3 особая точка Z3 является
устойчивой при X ->¦ 0. Траектории динамической системы (1.14) - (1.34),
движущиеся в окрестности особой точки Z3, при 5/2 ^ со < 3, у < у2
определяют автомодельные решения, в которых при X ->¦ 0 происходит
бесконечное число радиальных колебаний газа. Выведем асимптотические
формулы (при X ->¦ 0) для таких автомодельных решений. Для этого
достаточно проинтегрировать линейную часть системы (1.34) в окрестности
точки
дВР 3BQ _ 2 (2(р - 5) я
rill- 1 /VI *
dv0 дт2 (о
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА Г2 И Г8
201
имеет вид
Xq =- 2/о"
У о = ¦2(1°~1) {кс* + ууо),
po = po-f-(l + (-J- -1)^0+ ^Y^-yo) ¦
Эта система легко интегрируется:
^Хо = х = С^'* sin (Р (In %) + 0),
vr(j- 1) Уо = У = - C^~'h [("> + V.) sin (Р (In %) + 0) +
+ pcos(pinX+0)], (3.7) pi = CJ." (1 + и),
