Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
отсчета.
В - I ехр (т + ?), -?L=exp(T + ср(?)), (3.9)
80а (1 - и2) w exp (2? - v) PQ (1 + к) uR2 *
• (R/ct) = Q.
(3.11)
ЗАДАЧА О РАСПАДЕ РАВНОВЕСИЯ ЗВЕЗДЫ В ОТО
173
§ 4. Задача о распаде равновесия звезды
в общей теории относительности
I. Постановка задачи о вспышке звезды в классической газовой динамике [7]
(см. также главу V) естественно переносится в общую теорию
относительности. Предположим, что в начальный момент времени метрика
пространства-времени и распределение газа внутри звезды являются
статическими и имеют вид (2.15). Допустим, что в результате некоторого
возмущения из центра симметрии при t = О выходит ударная волна, причем
движение газа и метрика пространства-времени за фронтом ударной волны
являются автомодельными. Решение задачи о распаде равновесия звезды в
общей теории относительности состоит, таким образом, в отыскании
автомодельных решений уравнений Эйнштейна, которые в силу условий (2.2)
сшиваются на ударной волне со статическим решением (2.15).
Отметим, что, как показано в известной работе Оппенгеймера и Волкова
[111], уравнение состояния вещества р - кг применимо (при к ~ 1/3) в
окрестности центра нейтронных звезд. Однако плотность вещества в центре
устойчивой нейтронной звезды не может превышать величины р? ^ 1015 г/см3,
которой соответствует предел Оппенгеймера - Волкова массы нейтронной
звезды Моъ ~ ^1,6 М(r); см. [111, 73] (М(r) - масса Солнца). Все равновесные
конфигурации с центральной плотностью рс р? являются неустойчивыми [73],
и, как показано в работах [ИЗ, 112], масса таких равновесных конфигураций
(с учетом реального уравнения состояния вещества) является периодической
функцией от рс при рс -> ос (график зависимости М от рс, полученный
впервые в работе [114], приведен на стр. 221, рис. 31). В частности,
равновесная конфигурация с рс = оо, совпадающая в окрестности центра г =
О с точным решением (2.15), при учете (во внешних слоях звезды) реального
уравнения состояния ферми-газа нейтронов имеет конечную массу и является
неустойчивой.
Рассматриваемые в данном параграфе автомодельные решения описывают, в
связи с вышеизложенным, особый взрывной тип распада неустойчивого
равновесия звезды. Эти решения можно рассматривать как модель эволюции
звезды с массой М < Мов (такая звезда не обязана коллапсировать в "черную
дыру"), однако имеющей центральную плотность рс > р°.
Автомодельные решения вида (1.1), которые сшиваются через ударную волну
со статическим решением (2.15) (в силу условий
(2.2) при кг = &2), описываются траекториями динамической системы (1.11),
входящими при некотором г = гх в линию Y (в "дозвуковой" области | и | <С
к1?2):
и = - w = 2а, а = т^г. (4.1)
174
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ В ОТО
[ГЛ. IV
Линия У при преобразовании (2.2): w -> w, Q -> Q, u± -> k/u2 переходит в
траекторию X (2.14), соответствующую статическому решению (2.15).
Положение фронта ударной волны определяется условием г = ri. Ударная
волна является расходящейся: действительно, радиус ударной волны R = гх
ехр (т) -* сю при т-> оо. При г гг решение описывается отрезком
траектории X и является статическим. Естественным параметром на линии У
является М == Qk~12 - число Маха движения ударной волны (М = =v/(ck1/2))
в системе отсчета (3.3).
И. В трехмерном многообразии S три линии - траектория X, линия У и линия
особых точек I - пересекаются в одной точке Ух (Q = - и =к1/2, w = 2а, М
= 1) (пересечение этих трех линий в одной точке не является каким-либо
вырождением, а необходимо следует из их определения). Исследуем поведение
траекторий динамической системы (1.11) в окрестности особой точки YI.
Собственные числа (2.11) в особой точке Yi принимают вид
Соответствующие собственные векторы Z+, Z_, Z3 (вектор Z3 касается линии
особых точек I) и вектор Z4, касательный к линии У в точке
В окрестности особой точки Ух имеются две инвариантные относительно
системы (1.11) поверхности Lx и L2, заполненные сепаратрисами особых
точек /, отвечающими собственным числам К+ и Х_. В точке Ух поверхность
Ьг касается двумерной плоскости 5?+, натянутой на векторы 1? и Z3, а
поверхность L2 касается двумерной плоскости Ж_, натянутой на векторы Z_ и
Z3.
Плоскости и ?_ пересекают плоскость гг, р под прямым углом (поскольку
вектор Z3 ортогонален этой плоскости). Поэтому взаимное расположение
поверхностей L1? Z,2 и линии У в окрестности точки Ух определяется
расположением проекций векторов Z+, Z_ и Z4 на плоскость гг, Р; их
расположение показано на рис. 24. Здесь случаи к <; 1/3 и к 1/3
качественно отличаются, посколь-
2Л:1/2 (1 - А:)2 , о __ 4А;3'2 (1 - А*)
1 + А ' 1 + А;
Х3 = 0. (4.2)
У1? в координатах а, гг, р (а = 1 /Q, Р = (-* 2 ^ w ~ 2А:) j Q; см.
(2.10)) имеют следующие координаты:
(4.3)
g 4] ЗАДАЧА О РАСПАДЕ РАВНОВЕСИЯ ЗВЕЗДЫ В ОТО 175
ку при к < 1/3 имеем 4&/(1 + к) < 2 (1 - к)/( 1 + ft) и наоборот (см.
(4.3)). w w
Траектория X является входящей сепаратрисой особой точки
Ух, соответствующей собственному числу и лежит поэтому на поверхности Lx.
