Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Богоявленский О.И. -> "Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике" -> 70

Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.

Богоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике — М.: Наука, 1980. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikachestvennoyteoriidinamicheskihsistem1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 121 >> Следующая

(1.10) - после подстановки связи (1.13) и перехода к новой переменной т =
In К преобразуется в следующую трехмерную динамическую систему:
dr =Z ~ у (К - 2/со) (z - (V - 2/(0)*) [z(2y-4(1 -1/(c))(y-1)-2yF)- _ у (2
+ (1 _ 3Y) V) (V - 2/ю)2- у (у - 1) (m + V2 - V) (V - 2/(c))],
(1.14)
т/, г (4 - 3yV - 4/со) + у (т + V2 - К) (F - 2/со)
У - Т (г - (К - 2/0J)")
§ 1] РАЗРЕШЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 185
Первое уравнение системы (1.14) можно представить также в виде
z' = T-z^AS- I- (V ¦- !) v' + 2 + (1 - 3y) V]. (1.15)
Динамическая система (1.14) рассматривается в области Sx, выделенной
естественными физическими условиями:
г> 0, ту О, V - 2/оэ < 0 (1.16)
(последнее условие при со < 3 в силу (1.13) означает р ]> 0).
Поверхность L = z - (V - 2/оэ)2 = 0 является поверхностью непродолжимости
траекторий системы (1.14), так как с двух сторон от этой поверхности
векторное поле системы (1.14) направлено в противоположные стороны. Как
известно [7], с формальной точки зрения наличие такой поверхности
приводит к возникновению в некоторых автомодельных решениях ударной
волны. Закон движения ударной волны определяется условием X = Я*.
С помощью автомодельных решений вида (1.8) можно построить модели таких
важных астрофизических явлений, как разлет в результате взрыва
самогравитирующего газа, образующего звезду, коллапс самогравитирующего
газа на центр, сжатие самогравитирующего газа сходящейся ударной волной и
др. Движение газа во всех этих моделях описывается некоторыми
траекториями трехмерной динамической системы (1.14). Исследование
автомодельных решений с помощью численных методов и методов поиска точных
решений, основанных на нахождении первых интегралов, проведенное в
работах [7, 116], позволило получить важную информацию о поведении
решений в модели вспышек звезд только при специальных значениях
параметров у, со. Для более подробного изучения автомодельных движений
самогравитирующего газа необходимо провести полное исследование
динамической системы
(1.14) методами качественной теории многомерных динамических систем,
изложенными в главе I. Такое исследование проводится в данном параграфе и
в §§ 2, 3.
И. Построение замкнутого многообразия S. Для полного исследования
поведения траекторий системы (1.14) в области St (см. (1.16)) мы
преобразуем эту систему в систему, определенную на некотором замкнутом
трехмерном многообразии S с границей Г (отметим, что граница Г не
является гладким многообразием, а состоит из нескольких компонент,
которые пересекаются по углам границы). При этом преобразовании
осуществляется разрешение сложных особенностей системы (1.14) (например,
особой точки z = т - 0, V = 2/со). Укажем последовательно преобразования
координат, с помощью которых будет построено замкнутое многообразие 5, и
замены переменной т на переменные в которых динамическая система (1.14)
продолжается на соответствующие компоненты границы Г.
186
АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ
[ГЛ. V
Очевидно, что динамическая система (1.14) в области Sx (1.16) после
замены переменной dx3/dx -- (V - 2/со) гладко продолжается на три
координатные плоскости, являющиеся тремя компонентами границы Г
многообразия S: Г6 (V - 2/со = 0), Г7 (/тг = 0), Г8 (z = 0). Эти три
компоненты границы являются инвариантными многообразиями динамической
системы (1.14). В области Sx удобно использовать координаты
и = z1?2 ]> 0, v0 = V - 2/со < 0,
"."¦"> 0. <1Л?)
Для исследования поведения траекторий динамической системы
(1.14) при больших значениях координат и, v0l т0 необходимо пополнить
область Sx границей на бесконечности по координатам и, v0, т0. Такое
пополнение осуществляется с помощью^перехода к проективным координатам
vo 1 m0 dx i и
Vi = " и ' Po = " и ' ttli = и ' dx ^0 '
v0 и 1 dx2 m0
v2 = " m0 y 1/.! = ' m0 ' ' ' dx
1 u иг0
T| = " ' u2 - ~ *7 ' /гг4 = ' X.
(1.18)
(1.19)
(1.20)
Бесконечности по координатам и, v0, т0 в координатах (1.18) отвечает
плоскость р0 = 0, являющаяся компонентой границы Тг многообразия S.
Динамическая система (1.14) в координатах (1.18) - (1.20) и
соответствующих переменных тг гладко продолжается на компоненту границы
Г1т которая является инвариантным многообразием динамической системы.
Динамическая система (1.14) в области 51? пополненной границей Гх, имеет
следующие вырожденные особые точки (особая точка называется вырожденной,
если все собственные числа в этой точке = ^2 - - 0): точка = р0 = 0),
лежащая на
компоненте границы Гг; точка 02 (и =* v0 = m0 = 0), линия вырожденных
особых точек: I: и = v0 = 0, 0 т0 оо. Для разрешения особой точки Ог
сделаем следующие преобразования координат:
з
Vi mi vnm 1 dx3 1
РАЗРЕШЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
187
В координатах (1.21) -(1.23) вместо особой точки Ог вклеивается двумерная
плоскость (vx = 0, координаты т3 0, р2 > О произвольны), являющаяся
компонентой границы Г2 многообразия S. Динамическая система (1.14) в
координатах (1.21)-(1.23) и соответствующих переменных т* гладко
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed