Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
если Зу (у - 1) со2 - 2 (3Т - (1 + w))(2 (со - 1) + Зу (2 -
со)) > 0.
При со > 2 это условие выполнено при всех у. Если особая точка
Z7 лежит в "дозвуковой" области, то на плоскости т = 0 она является
притягивающей. Собственное число Хт - со ^ . По-
этому при у < 4/3 имеется одномерная выходящая из Z7 сепаратриса (^->0),
а при у >4/3 имеется трехмерная входящая в Z7 сепаратриса (X->оо, точка
Z7 является притягивающей). Если (при со < 2) особая точка Z7 лежит в
"сверхзвуковой" области L < 0, то на плоскости яг = 0 особая точка Z7
является седлом.
196
АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ
[ГЛ. V
Поэтому при у с 4/3 имеется двумерная выходящая из Z7 сепаратриса (Я->0),
а при у 4/3 имеется двумерная входящая в Z7 сепаратриса (Я -> сю).
Соответствующие асимптотики при X -" 0 и X -> оо имеют вид
Л = CiAr3-aXa, р = а С1Аг~аКа,
Р = о-То----ггто7-(т~4?)' -7-1---оТГ С^АЮг*"-"%а+а, (2.6)
г 2я(3у- 1) [2 (со - 1) - Зу(со - 2)] 1 " v /
2 г 3 - со
у = ----г -- , а = (о -
Зу - 1 f ' 3Y - (1 + со) *
V. Решения, имеющие расширяющуюся пустоту внутри газа, при со =? 5/2
подробно исследованы в книге [7]. Здесь мы укажем условия существования
таких решений при произвольных у, со и приведем их асимптотики на
внутренней границе. Решения с расширяющейся пустотой соответствуют
сепаратрисам особых точек Z4, Zs, Z6(co 2) и линии особых точек Х3 (у =
уг):
гу / с\\ \ 4 (со - 1) - 67
z4 (Уо = тп% = ро = 0): XVo =------------------------,
л /3 - (о • 2 (со - 1) - vco
^т2 = 4 - , ^р0= -
Zb (у* = m2 = и = 0): X,0l = 2 3~м-, Х,ТОа = 4 3 - "
СО
^ _ уо) - 2 (со - 1)
и~ Тсо ;
Жз (y = VI = (у4 = тг = °" 0 < w < оо):
4 = Хт1 = 4-^-| Хи = 0.
Особая точка Z4 является отталкивающей при 2 (со - 1)/3 < <С у <7i,
особая точка Z5 является отталкивающей при у ^ а линия особых точек Хз
является отталкивающей при у = При таких значениях параметров
сепаратрисы, выходящие из особых точек Z4, Zs, Хз имеют при X ->
устойчивую асимптотику
р-&??(?-*)"¦ Р-Йгй. (2.7)
а - т 3v - 2 (ш - 1) '
3 - (о ^_________ 2 З7 - 2 (со - 1)
7(0
Особая точка Ze (со^> 2) ^у4= -^ _ 2)' " т2 = и = 0j явля-
" * * 2(3-(о) . З7 - (1 + (о)
ется неустоичивои: XV4 = - кт2 = ------ , Хи = ---1---
----- .
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА Г2 И Г8
197
При 7 м имеется двумерная выходящая из Z6 сепаратри-
са, которой соответствует следующая асимптотика при X ->Xi:
В асимптотиках (2.7), (2.8) масса газа внутри расширяющейся сферы X = Хг
равна нулю, т. е. внутри этой сферы пустота. В асимптотике (2.7) давление
газа на внутренней границе р Ф О, т. е. газ вытесняется некоторым
"сферическим поршнем" [7], моделью которого может служить бесконечно
нагретый газ (температура Т = оо, плотность р = 0). При 7 > 7i на
внутренней границе плотность газа р-> оо, следовательно, температура газа
Т ~ /?/р-> -> 0 при X Xv Поэтому в реальном, неавтомодельном решении на
внутренней границе возникнет интенсивный теплообмен с бесконечно горячим
газом внутри полости, который приведет к заполнению пустоты газом с
ненулевой плотностью.
Другой тип неустойчивости внутренней границы связан с известным
механизмом возникновения тейлоровской неустойчивости [128, 129]. А
именно, при со < 2 ускорение внутренней границы ai У 0" т* е* в системе,
связанной с внутренней границей, ускорение направлено в сторону пустоты,
что и приводит к тейлоровской неустойчивости газа; при со 2 этой
неустойчивости нет. При 7 <С Yi (в этом случае со 2, 7 < 4/3) плотность
газа р -> 0 и температура Гоо при поэтому внутренняя граница
устойчива относительно рассмотренных возмущений.
В асимптотике (2.8) на внутренней границе р ->¦ 0, р 0, Т -> 0 при Х->-
Хх, т. е. эта асимптотика описывает расширение газа со свободной
внутренней границей, которая в силу со 2 (ускорение а± <С 0) является
устойчивой.
Из условий существования асимптотик (2.7), (2.8) следует важный вывод:
при 7 <С 2(со - 1)/3 (при этом со 5/2) автомодельных решений с
образованием полости внутри газа не существует. В частности, в этой
области значений параметров таких решений нет и в задаче о вспышке
звезды.
§ 3. Исследование динамической системы на компонентах границы Г2 и Г8
р at4 2яш2 3-0
Г2 (О -
с У Зу - (1 + оз) '
3 - (о ^______2 З7 - (1 4- со)
На основе проведенного в § 1 разрешения особенностей системы
автомодельных уравнений оказывается возможным подробно исследовать
асимптотики автомодельной аккреции самогравити-
198
АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ
[ГЛ. V
рующего газа, на центр и решения задачи о вспышке звезды. Поведение
соответствующих автомодельных решений существенно зависит от поведения
динамической системы на компонентах границы Г2 и Г8, к рассмотрению
которого мы и перейдем в данном параграфе.
I. Исследование динамической системы на компоненте границы
Г2. Динамическая система на компоненте границы Г2 (р0 = 0) имеет шесть
невырожденных особых точек: Z1? Z2, Z3, Z4, А, В. Особые точки А ж В
рассмотрены в § 2. Особые точки А и В, как отмечалось в § 1, являются
