Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
При к < 1/3 имеем А,(r) < Я(r); вследствие этого в окрестности особой точки
Ух все траектории в "дозвуковой" области | и | < к12 (кроме траекторий,
лежащих на поверхности Lx)
Рис. 24. Качественное поведение траекторий динамической системы (1.11) в
окрестности особой точки Yx (в проекции на плоскость и, Р) при 0 ^ к ^ <
1/3 (а) и 1/3 < к < 1 (б).
входят в притягивающие особые точки на линии /, касаясь поверхности L2. В
частности, все траектории, идущие в окрестности траектории X, при
приближении к особой точке Ух при к < 1/3 отклоняются от поверхности Lx и
оказываются в малой окрестности поверхности Ь2. Поэтому, вследствие
указанного на рис. 24 расположения линии У, некоторый отрезок Y{Y (М0)
линии Y (М0 1)
целиком пересечен траекториями, двигавшимися ранее в окрестности
траектории X.
Как показано в § 2, в окрестности траектории X находится обмотанная
вокруг нее бесконечное число раз двумерная инвариантная относительно
системы (1.11) поверхность - сепаратриса Z особой точки Zx. Эта
поверхность пересекает линию Y в бесконечном числе точек У (Мt), 1
при i -> оо. Таким образом, при
к < 1/3 существует бесконечное число решений задачи о распаде равновесия
звезды, являющихся сепаратрисами особой точки Zx и поэтому продолжающихся
без особенности до центра симметрии. Эти решения, так же как и
аналогичные решения в классической газовой динамике при у < ух < 4/3, со
< 5/2 (см. главу V), описывают распад равновесия звезды без выделения
энергии.
Все решения, соответствующие числам Маха М: Мг М Mi+1, описываются
траекториями, выходящими из особых точек
176
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ В ОТО
(ГЛ. IV
линии lv Эти решения, как показано в § 2, имеют расширяющуюся пустоту (г
< гг) внутри газа, образующуюся в результате вытеснения газа изнутри
сферическим поршнем.
Отметим, что каждое решение задачи о распаде равновесия звезды,
отвечающее числу Маха М движения ударной волны (в системе отсчета (3.3)),
совершает некоторое конечное число N (М) оборотов вокруг траектории X
(рис. 25), причем N (М) -> оо при
w
Рис. 25. К решению задачи о распаде равновесия звезды в общей теории
относительности.
М -> 1. Радиальная скорость газа v в системе отсчета (3.3) имеет
вид (3.10): v= . Поскольку на траектории X имеем и -
= 0, то в рассматриваемых решениях скорость газа v имеет 2N (М) нулей,
следовательно, в этих решениях газ совершает конечное число N (М)
радиальных колебаний (по координате R (3.3), имеющей очевидный физический
смысл), причем N (М) -> оо при М -> 1. На каждом отрезке Мг М М*+1 число
колебаний N (М) является постоянным и на двух последовательных отрезках
возрастает на единицу, в частности j/V(Mi+i) = N (Мг) + 1. После
окончания радиальных пульсаций газа происходит монотонный разлет газа от
центра с асимптотикой (2.18) - (3.11) для решений сМ = = Мг и с некоторой
асимптотически (при г -> гх) постоянной скоростью разлета газа в системе
отсчета (3.3) для решений с М Ф Mf.
III. При всех к особые точки на линии I в окрестности точки Y± являются
притягивающими (см. 4.2)), причем при вхождении в особые точки на линии I
при к < 1/3 все траектории, кроме траекторий, лежащих на поверхности Ьъ
касаются поверхности Ь2 (поскольку Я(r) < Я°), а при к 1/3 все траектории,
кроме траекторий, лежащих на поверхности L2, касаются поверхности Ьх (по-
РАСХОДЯЩИЕСЯ И КОЛЛАПСИРУЮЩЙЕ ударные волны
177
скольку > Я°); см. рис. 24. Для каждой особой точки линии I в окрестности
точки Уг существует двумерная инвариантная поверхность заполненная
сепаратрисами, входящими в эту особую точку.
Двумерная поверхность 2Р> (Ух) пересекается с обмотанной вокруг
траектории X бесконечное число раз двумерной сепаратрисой Z по
бесконечному числу траекторий Д*. Эти траектории после вхождения в особую
точку Yx могут быть продолжены траекторией X. Полученные таким образом
решения продолжаются до центра симметрии и описывают распад равновесия
звезды без выделения энергии и без ударной волны. В этих решениях на
поверхности сшивки автомодельного решения со статическим имеется слабый
разрыв - все физические параметры непрерывны, а их производные имеют
скачок. При этом при к 1/3 уже первые производные имеют скачок (см. рис.
24, а), а при к ^> 1/3 первые производные решения остаются непрерывными
(см. рис. 24, б) на поверхности сшивки, а вторые производные имеют
разрыв.
Все остальные траектории на поверхности S5 (l^i) выходят из линии особых
точек 1Х и соответствуют решениям с расширяющейся пустотой внутри газа и
также имеют аналогичный слабый разрыв.
Все выводы, сделанные выше относительно конечного числа радиальных
колебаний газа в системе отсчета (3.3), справедливы и для найденных
решений со слабым разрывом.
Отметим, что при любых к: 0 < к < 1 двумерная сепаратриса Z пересекается
с поверхностью Ьг по бесконечному числу траекторий, которые гладко
продолжаются через линию особых точек I. Соответствующие решения
представляют собой некоторые гладкие возмущения статического решения
