Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
A (v = 0, q = -1, и = 0), В (v = q = и = 0),
С (w = q = и = 0),
G (и = g = 0, w = -1), Н (w ~ q = 0, w = -1),
Zx (и; - и = 0, ? = -3 (1 + к)/( 1 + 3 /с)),
Z2 (<? = 1, ^ = 0, и = и2 =
= [Л (1 - Л) - {/с2 (1 + Л) + к (1 - Л) (1 + 3 к)УЩ 1 - Л),
Z3 (и = 0, q = -1, ^ = 4 Л/(1 + /с))
и три линии особых точек:
(их = w == 0Г 0 ^ Q ^ 1), DE (Q = I, и = -1, 0 < г/; < оо), / (и = -
м; (1 - ft) + 8 <?/с3/2 (1 + /с)-1 = 4 к).
Все особые точки лежат на различных компонентах границы Г (кроме линии /,
лежащей на поверхности непродолжимости решений L_). Многообразие S вместе
с особыми точками динамической системы и их сепаратрисами изображено на
рис. 21.
Особые точки А, В, С, G, Н лежат в углах границы Г и являются
^неустойчивыми (седловыми); все их сепаратрисы лежат на различных
компонентах границы Г, и им не отвечают никакие точные физические
решения.
164
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ В ОТО
1ГЛ. IV
Особые точки на линии 1Х являются отталкивающими; их собственные числа
имеют вид XUt = = -j^T/Г" ' ~ (r)Д0ЛЬ
каждой сепаратрисы, выходящей из линии особых точек 1г, параметр г
изменяется до некоторого конечного значения г = г0, причем и (г0) = w
(г0) = 0. При г < г0 соответствующие решения
Рис. 21. Общее расположение особых точек и сепаратрис динамической
системы (1.11) на замкнутом многообразии S.
могут быть гладко продолжены в области гг 0, однако в этой области
решения, вследствие возникновения непродолжимости, не имеют физического
смысла. Решения, соответствующие сепаратрисам особых точек Zx, определены
при г > г0 и описывают образование расширяющейся пустоты внутри газа.
Действительно, поверхность г = г0 является сохраняющейся при движении
границей газа, поскольку и (г0) = 0; решение при г < г0 может быть сшито
(с сохранением непрерывности метрики) с пространством Минков-ского,
метрика которого в координатах (1.1) имеет вид
При этом на границе пустоты плотность энергии е и давление р имеют разрыв
- так же, как и в решениях с расширяющейся пустотой в классической
газовой динамике [7]. Для придания физического смысла этим решениям
необходимо предположить (так же, как и в классической газовой динамике;
см. [7]), что газ вытес-
F
>3
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
165
няется изнутри некоторым сферическим поршнем, уравновешивающим ненулевое
давление на внутренней границе.
Особые точки на прямой DF имеют следующие собственные числа: К± = Я2 = w
- 2, Я3 = 0. Таким образом, отрезок DE (0 w < 2) состоит из
притягивающих. особых точек, а отрезок EF (2 << w ^ оо) - из
отталкивающих. Все траектории системы
(1.11) на компоненте границы Г2 (и = -1) начинаются при некотором w =
w0 на отрезке EF и заканчиваются при w = 4/w0 на отрезке DE - это следует
из существования первого интеграла К = wQ (1 + w + Q)~2 (см. (1.13)).
Траектории системы (1.11), близкие к компоненте границы Г2 (и ж -1),
ведут себя аналогичным образом. Метрика, соответствующая траекториям,
входящим в особые точки DE (при г -> оо) или EF (при г -> 0), оказывается
неполной и может быть гладко продолжена в синхронной системе отсчета (см.
ниже, § 3).
Линия особых точек I разбивает поверхность непродолжимости решений Ь__ (и
= -/с1/2) на левую и правую части: Li, LL (см. рис. 21). Левая часть Z/L
выбрасывает траектории в многообразие S (в окрестности Li имеем и 0 при и
- W2 и й < 0 при и < - ft1/2), а правая часть VL притягивает траектории
из многообразия S. При этом в обоих случаях траектории пересекают
поверхность Ь_ при конечном значении г.
Для изучения поведения траекторий в малой окрестности линии I сделаем
следующую замену координат и (немонотонную) замену переменной ?:
п 1 о (1 k)w 2к dx, Q 0
Q ' Р- 2Q Q ' dt, ~ и2-к •
Линия / (Р = -4 ft3/2 (1 + ft)"1, и = - ft1/*, а ]> 0) состоит из
невырожденных особых точек системы (1.11) в координатах (2.10).
Собственные числа полученной системы в этих особых точках имеют вид
= - Д* 2 (1 - к) ± fti/a (1 - ft)(l + 2Zb (1 - к)'1)112, h = о,
Z, = .2fc|1_+k3*).a"---г^_Ц1 + А)з + 2А(3 + А*)]о +
(! + **) , ". а -мч
Ml + A)*(l - к) + Л1>
Линия особых точек I внутри многообразия S разбита на три отрезка: 1± :
оо > a > аъ /2 : > а > а2, /3 : а2 > а > а3,
где ах и а2 - наибольшие корни квадратных уравнений Z0 (ax) = = 0, Z0
(a2) = -¦ (1 - ft)/2, a3 является координатой точки i3 пересечения линии
/ с компонентой границы Г4 (V = 0, рис. 22, ft = 4).
166
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ В ОТО
[ГЛ. IV
Рис. 22. Движение траекторий динамической системы на компонентах границы
Гff (цифры под рисунками соответствуют значениям к = 1, . . ., 6).
Из (2.11) следует, что особые точки отрезка 1г являются неустойчивыми
седлами, особые точки отрезка /2 являются притягивающими узлами, а особые
точки отрезка /3 являются притягивающими фокусами. Отрезок 1Х
пересекается с компонентой границы Г5 (9 = 0) в точке i0 (а = оо) (см.
рис. 22, к = 5).
Возвращаясь к исходным координатам w, Q, и, получаем, что из дозвуковой
области многообразия S ( | и | < к1/г) в отрезок /х входит двумерная
