Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
qx, q2, q3 оказывается много больше двух других. При этом формулы (6.17)
показывают, что очередность максимумов величин <7х, q2, q3 не зависит от
величины W (наличие электромагнитного поля) и является такой же, как в
пустом пространстве (W = 0); следовательно, также справедлив закон смены
"казнеровских показателей" [50]. Однако величина максимумов qx согласно
(6.18) при наличии электромагнитного поля уменьшается; в случае
сильного поля (W qx) имеем
glmax (W)&(qx max (0))2/2 W,
где qxmax (0) - соответствующий максимум qx в пустоте (W = 0).
Полное качественное исследование динамической системы
(6.15) можно провести с помощью методов, применявшихся в § 6 главы
II. Система (6.15) после преобразования в координаты
st = st/P, yt = qt/G, w = G2/P2,
G = [q\ + ql + ql)% P = {s\ + A + $*)V. (6.19)
и замены времени d%2]dxx = P принимает вид Si = w I- уi (y} + yk - г/г) +
st (yasa (г/р + yv - ya))] +
+ 2 (fi,1 - SiSl) H2,
3 3
io = 2w [w (yasa (ya + yv - ya)) ~ 2si#2 + 4 (2 Sa - 2 2 (r)рг$)]"
a=l P=l
Vi = 8 yi (sayl - st),
3 3
G = 4G (2 su - 2 2 • (6.20)
0C=1 P=1
156
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ С ДВИЖЕНИЕМ ВЕЩЕСТВА (ГЛ; III
3 3
Здесь Я* = -^ = 2^^ - 1 + -^w{2 ^у.у.- lj. Система
i<j г<У
(6.20), так же как и система (4.9) главы II, определена на компактном
многообразии 5, выделенном условиями Н2 0, yt > 0, +
+ s2 + s3 ^ 0. На поверхности #2 = 0 эти две системы, очевидно,
совпадают. Поэтому система (6.20), согласно результатам § 6 главы II,
имеет следующие множества особых точек, лежащие на уровне Н2 = 0: три
окружности ('ф, i) и девять отрезков At, Bt, Tt. Нетрудно проверить, что
других особых точек (в области Н2 > 0) У системы (6.20) нет. Поэтому все
степенные асимптотики метрики при сжатии пространства соответствуют
сепаратрисам особых точек Tt (особые точки ('ф, i), At и Bt не имеют
сепаратрис, входящих в них из физической области).
Покажем, не вычисляя собственных чисел в особых точках Гг", что в
рассматриваемой задаче реализуется только таубовская асимптотика qx С^2,
q2 = qs -> С2^> 0 при ^ -> 0, соответствующая особым точкам Тг.
Действительно, из условия Н = 0 (см. (6.14)) следует H0/q1 = (Р\ + А§/2 =
W - const. Отсюда получаем уг = H2G/wW. В таубовских асимптотиках имеем G
-> -> const, w -> const, Н2 -> 0, поэтому уг -> 0, т. е. возможна только
асимптотика Тг. Такую асимптотику имеют точные решения (q2 = gj,
найденные в работе [93]; все остальные решения в рассматриваемой задаче
при t 0 выходят на колебательный режим (соответствующие траектории
системы (6.20) движутся вдоль сепаратрис трех окружностей особых точек
(ф, i))u
Отметим, что напряженности электрического и магнитного полей в лоренцевой
системе отсчета имеют вид Е± = - PJY<Мз> Hi = Aj/YqzQz- Отсюда в силу
существования интеграла Р\ + + А\ = 2 W следует, что для общего решения
вблизи космологической особенности Е\ + Н\ -> оо, в то время как для
частных решений с q2 = q3 напряженности Ег и Нх все время ограничены.
глава iv
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНЫЕ РЕШЕНИЯ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Наряду с однородными космологическими моделями существует еще один важный
класс решений уравнений Эйнштейна, для которого уравнения общей теории
относительности сводятся к системе обыкновенных дифференциальных
уравнений,- класс автомодельных решений. Автомодельные сферически-
симметричные решения в общей теории относительности впервые
рассматривались в работе [101]. Уравнения Эйнштейна для этих решений
преобразовывались к различному виду в [102, 103] и рассматривались в
сопутствующей системе отсчета в [104, 105]. Автомодельные обобщения
однородных космологических моделей были указаны в [106]. Классификация
частично инвариантных решений уравнений Эйнштейна, включающая
автомодельные решения, дана в работе [107]. В связи с проблемой
образования нестационарных черных дыр автомодельные решения изучались в
работе [108]; автомодельные решения, несингулярные внутри светового
горизонта, исследовались в [109]. Методы, применявшиеся в перечисленных
работах, позволили исследовать ряд свойств автомодельных решений, однако
не дали полной картины динамики этих решений.
В данной главе проведено качественное исследование трехмерной
динамической системы, описывающей автомодельные сфериче-ски-симметричные
решения в общей теории относительности. Впервые обнаружено наличие
радиальных колебаний газа в автомодельных решениях (этот эффект имеет
аналог также и в классической теории; см. главу V); найдены автомодельные
решения, у которых трехмерные пространственно-подобные сечения имеют ту
же топологию, что и в решении Шварцшильда - Крускала.
§ 1. Система уравнений Эйнштейна
для сферичеоки-симметричных автомодельных решений
I. Сферически-симметричные автомодельные решения уравнений Эйнштейна
являются четырехмерными многообразиями *Ж4 с эйнштейновской метрикой ds2
= g^dx'dx1, которые обладают трехмерной группой изометрий SO (3),
действующей с двумерными орбитами (сферами S2) и одномерной группой
