Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
лагранжевой системой).
И. Первые интегралы гамильтоновой системы. Преобразуем полученную
лагранжеву систему с помощью преобразования
Лежандра в эквивалентную ей гамильтонову систему. Введем импульсы
р"== Ш (gtf (in I g I)- _ fctfV),
a? - (6-?)
pi = 7Г = ¦- V\*\ *• i' M = 1,2,3.
oA |
В фазовом пространстве (p, q) с координатами Рь At получаем гамильтонову
систему
дН . дН Q4
'• 9 = (6*8)
Г- dq ' Эр
с гамильтонианом Н = Н± - Н2, где #1 = у== I(Sp (pog))3 - 2 Sp (pogopog)
-f
+ ^(2|g|Sp(r1)-Sp te2))l,
1 n , " " 4- <6'9>
§ 6] МОДЕЛЬ IX ТИПА С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ 153
Здесь р, g - матрицы || pij ||, || gi} ||; | g | = det || gi} ||.
Отметим, что гамильтониан Нг, описывающий изменение электромагнитного
поля, есть гамильтониан трехмерного осциллятора (с изменяющейся
метрикой).
Лагранжиан L и, следовательно, гамильтонова система (6.8) имеют группу
симметрий SO (3), действующую по закону
g-*Qtog°Q, P-*QioP°Q, А->()*оА, Р -> QloP, (6.10)
где Q - ортогональная матрица.
По теореме Нетер (см. [100]) гамильтонова система (6.8), в силу наличия
трехмерной группы симметрий (6.10), имеет три первых интеграла -
"момента":
ма = gfivpv"cia + V, ApPvC$a. (6.11)
С помощью интегралов Ма легко доказать, что связи (6.6) сохраняются
гамильтоновой системой (6.8). Действительно, используя формулы (6.7),
легко проверить, что связи (6.6) означают, что Ма - 0. Таким образом,
гамильтонова система (6.8) рассматривается на общем нулевом уровне
гамильтониана Н = 0 и моментов Ма = 0.
Система (6.8) имеет еще один первый интеграл
з
W=^(S(P? +л?))- (6,12)
г=1
Действительно, легко проверить, что скобка Пуассона {Н, W} =
*= 0.
III. Колебательный режим поведения решений с диагональной метрикой
вблизи космологической сингулярности. Уравнения Эйнштейна - Максвелла для
однородной космологической модели
IX типа имеют частные решения с диагональной метрикой gtj и
однокомпонентным вектор-потенциалом At:
(4i 0 0 \
g4j= 0 ?2 0 , Ai=(0, А10,0). (0.13)
\ 0 0 Яз /
Такие решения тождественно удовлетворяют связям Ма = 0. Гамильтониан Н =
Нг - Нг (6.9) при условиях (6.13) имеет вид
я"Т=-[(§м,),-2§*; +
г=1 г=1
Соответствующая гамильтонова система на уровне Н = 0 после
154 КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ С ДВИЖЕНИЕМ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. III
замены времени dxjdt = 1/(2 |/^и замены координат st = == P&i (^ = 1" 2,
3) переходит в систему
3 3
S" = - ?i( Jj Як- 2?i) + 2Я06Ь = sfc -2s{),
fr=l fr=l
(6.15)
где
H0 = Нг УшФ - Qj ^i)2 -2 + 4" (J], ?*)* - 4~ S •
i=i i=l г-i г-I
При этом вектор-потенциал удовлетворяет уравнениям Рг = У W sin ф (тх),
Ах = YW cos ф (тх), ф = 2 qx. (6.16)
Здесь W = 2 HJqx - первый интеграл системы (6.15).
Рассмотрим поведение метрики (6.13) при сжатии пространства {{ЧгЧгЧьУ <
0) в окрестности космологической сингулярности ?i?2?b = 0* Сжатию
пространства отвечает область sx + s2 + $з ^ < 0; по смыслу задачи qt >
0, #0 = НХУ qxq2q3 = Н2 У д^з > °* Система (6.15) имеет двумерное
множество невырожденных особых точек - конус L:
( S Si)2 - 2 2 Si =0, q1 = q2 = qs=0.
i=l г=1
Конус Улежит в отрицательном квадранте sx, s2, s3 ^ 0 и касается
биссектрис координатных углов st -sj,sk = 0. Биссектрисы делят конус L на
три части; обозначим Lt часть конуса, ближайшую к оси st.
Собственные числа особых точек L следующие: XQi = XSi = = 4 (s2 + s3 -
sx), Xq2 = 4 (s3 + sx - s2), Xq3 = 4 (sx+s2 - s3), kSo = Кя = о.
Очевидно, что на множестве Lt Xq. ^> 0, Xq. <C 0, Xqk < 0 (i, /, A = 1,
2, 3). Следовательно, из множества Lt выходит сепаратриса, вдоль которой
изменяются координаты gf и s*, а координаты д,- - gfc = 0; Sj, постоянны.
Сепаратриса, выходящая из точки (sj, s!J) на множестве Li(s\ + ^з 0)"
после замены времени dx/dxx = gx имеет
вид
Яг (т) = W cos 2 т + 2 (sj + - sj) sin 2т - PF,
Si ('t):=: (sx- s2 - s8) cos 2t -j-2-sin2t + s2 + 5з? (6.17)
Я2 = Яз = 0, s2 = "S, *з = *з> о < т < tx.
Конечная точка этой сепаратрисы достигается при т = тх : tg хх =
МОДЕЛЬ IX ТИПА С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ
155
-2 (sl+ st - 4)/W; qx (Tx) = 0, ix (Tx) - 2 (Sj + s°3) - S(r) и принадлежит
множеству L2 или L3. В координатах s 1? s2, $з сепаратриса (6.17)
движется из точки (sj, $?, s?) в точку (2 (^ + si) - sj, ^2, s!j) по
прямой, параллельной оси sx. Максимум величины qi вдоль (6.17)
достигается при т = %т : tg (2тт) = 2 (sj + s3 -
- sl)/W и равен
#1 max = (W* + 4 Й + - S?)2)V* - T7. (6.18)
Аналогичные формулы справедливы для сепаратрис особых точек Ь2 и L3, где
нужно переставить индексы и положить W = 0.
Особые точки Lt вместе с их сепаратрисами представляют собой
аппроксимацию колебательного режима Белинского - Лифши-ца - Халатникова
[50]: траектория, идущая в окрестности сепаратрисы (6.17), попадает в
окрестность некоторой неустойчивой особой точки множества Lt и затем
движется вдоль выходящей из этой особой точки сепаратрисы типа (6.17) до
попадания в окрестность новой неустойчивой особой точки множества Lj и т.
д. Таким образом, вдоль траектории последовательно одна из трех величин
