Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
преобразований
Фх: J?4,
158
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ В ОТО
1гл. IV
при действии которой происходит растяжение метрики Фь : ds2 -> с (К) ds2,
с (Ях + Я2) = с (Я2) с (Я2).
Автомодельные решения могут быть представлены в различных эквивалентных
формах (см. ниже, § 3). В дальнейшем мы исследуем метрику автомодельных
решений в конформно-статическом виде:
где dQ2 = d02 + sin2 0 йф - стандартная метрика постоянной положительной
кривизны х = +1 на двумерной сфере S2, о =
- dfc 1, I - константа с размерностью длины, переменные т, г
безразмерны. В автомодельном решении (1.1) группа ф^ действует сдвигами
по т. Одновременно с (1.1) можно рассмотреть автомодельные решения с
метрикой dQ2 = dQ2 + sh2 0 йф2 постоянной отрицательной кривизны х = -1 и
с метрикой dQ2 - dQ2 + diр2 нулевой кривизны х = 0.
Предположим, что в автомодельном решении (1.1) материя имеет
гидродинамический тензор энергии-импульса
Здесь 80 - константа с размерностью плотность энергии. При а = +1 функция
и (г) = v (г)/с, | и | < 1, а при а = -1 имеем и (г) = c/v (г), | и |
1, где v (г) - трехмерная радиальная ско-
рость материи.
Уравнения Эйнштейна для автомодельных решений имеют вид (здесь х0 =
8яk/c*)
----^2v" -f- v'2------------- ~ v' - v'Vj + e~v = - щкг0г, (1.6)
До1= ХоГох: v = - (1 + к) еоё - . (1.7)
ds2 = Z'2e2t (offr) dx% _ aem - r4 Q2), (1.1)
Tij = (P + 8) UiUj - pgi}, (1.2)
где плотность энергии e, давление p и 4-скорость материи и* имеют вид
(1.2)
е = е0ё (г) р = ке, 0 ^ к <1 I, (1.3)
Д°о------------
r\--Lr = %qt
Rl------i-R = KoTl:
§ i] УРАВНЕНИЕ ЭЙНШТЕЙНА ДЛЯ АВТОМОДЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ 159
И. Рассмотрим систему двух уравнений Эйнштейна:
= Ш---= (1.8)
и одного уравнения гидродинамики Т\-ъ = 0:
у- дУде/1г' + 27-;-g-vTj) -(1.9)
где У~g = rVv+^/2. Уравнения (1.8), (1.9) после исключения в0ё из
уравнения (1.7) и перехода к новым переменным
? = In г, Q = re(k-v)/2, ^=-~~=v'r (1.10)
определяют замкнутую трехмерную динамическую систему "L = $ = Q(l-V,-Q*-
U>Q±t?.),
(
.11)
Траектории динамической системы (1.11) полностью определяют автомодельное
решение (1.1). Уравнение Эйнштейна (1.5) после исключения &0г из
уравнения (1.7) определяет связь, сохраняющуюся в силу системы (1.11):
V=*w + l-<? + wQ (1* + "'ц =а%ек (1.12)
(здесь константа х = ± 1, 0 равна постоянной кривизне двумерной метрики
dQ2; см. (1.1)).
Динамическая система (1.41) определена в области Q 0, sign w = - sign и
(последнее условие следует из (1.7) в силу положительности в). Согласно
(1.12), система (1.11) в области aV^> 0 описывает сферически-симметричные
решения (х = +1) в области aV <0 - решения с двумерной метрикой dQ2
отрицательной кривизны х = -1 (группа симметрий SL (2, Л)), а на
инвариантном многообразии V = 0 - решения с х = 0 (плоская симметрия).
Два вида метрики (1.1) (а = ± 1) описываются системой (1Д1) в различных
областях: при а = +1 имеем | и | < 1, а при а = -1 имеем | и | 1.
Система (1.11) на инвариантных многообразиях и = б = ± 1 имеет первый
интеграл
ТГ WQ 4Qv
160
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ В ОТО
(ГЛ. IV
и может быть проинтегрирована в явном виде. Эта система описывает
направленные потоки нейтрино (при классическом задании тензора энергии-
импульса ГЦ = - Т\ = - б см. [71]).
§ 2. Исследование динамической системы
I. Условия на разрывах. Существенным свойством автомодельных решений в
общей теории относительности, так же как и в классической газовой
динамике, является наличие в пих ударных волн. На языке динамической
системы (1.11) возникновение ударных волп в автомодельных решениях
обусловлено наличием поверхности непродолжимости решений L+: и = ± кх^: с
двух сторон от этой поверхности (и2 - к < 0 и и2 - к ]> 0) векторное поле
системы (1.11) направлено в противоположные стороны (и в пределе | и | ->
W* перпендикулярно поверхности L+). Вследствие такой непродолжимости
некоторые решения могут быть определены при всех г только с введением
разрыва - ударной волны.
Положение фронта ударной волны определяется некоторым постоянным
значением координаты г. Поэтому система координат
(1.1) является системой, сопутствующей ударной волне. На фронте ударной
волны сшиваются решения системы (1.11), расположенные по разные стороны
от поверхности непродолжимости решений L+, т. е. дозвуковое решение (| и
| 2 < к = dp/d г) сшивается со сверхзвуковым ( | и | к1?2)' Можно
рассмотреть более общую
ситуацию, когда в области за 'ударной волной материя имеет уравнение
состояния р = кг 8, а в области перед ударной волной - уравнение
состояния р = к2 8, 0 к2 ^ кг. Наиболее интересны случаи к2 = кх и к2 -
0. Предельные значения параметров с двух сторон разрыва связаны
следующими естественными условиями:
1) коэффициенты метрики v, Я, г всюду непрерывны; 2) на разрыве
выполнены законы сохранения (см. [110]): [Т\щ] = 0 (здесь щ = = (0, 1, 0,
0) - вектор, ортогональный к фронту волны). Эти условия приводят к
следующим равенствам (индексы 1 и 2 определяют параметры по разные
