Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
w 3 (1 +к)г' г~Т+ЗкТ*'
17 O'
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ В ОТО
[ГЛ. IV
Очевидно, что решения с асимптотикой (2.18) регулярны и в центре
симметрии г = 0.
V. Гравитационный радиус вещества в автомодельных решениях. Функция
гравитационного радиуса rg для сферически-сим-метричных решений уравнений
Эйнштейна определяется следующим выражением [73, 108]:
r' = R(l + lU^)' <2-19>
где функция R определяет радиус двумерной сферы S2. Для конформно-
статической метрики (1.1) имеем R = гех; гравитационный радиус rg
принимает вид
rg = R (1 + (r2^_v - 1)). (2.20)
После подстановки в это выражение формул (1.10) и (1.12) получаем
rg __ - w(l + Q(k + u*)l(l-\-k)u) п 0 4\
R w (1 + Q (к + и2)!{ 1 + к) и) + 1 - Q2 '
По определению, вещество находится вне гравитационного радиуса, если
rg/R.<Z 1, и под гравитационным радиусом, если rg/R^> 1 Согласно (2.21),
выражение rg/R^> 1 в двух случаях: в области -1 <[ м <; 0 (ст = +1, У 0;
см. (1.12)) при Q 1 (для
этого необходимо, чтобы -1 <С zr<; -&); в области | и | 1
(а = -1, V << 0) при Q < 1.
В особой точке Zx (w = и = Q = 0) имеем rg/R = 0; в особой точке Zз и на
всей сепаратрисе X (2.14) (т. е. для статического решения (2.15))
получаем rg/R = 4& (1 + 6к + к2)*1 < 1; в особой точке Z% выражение
(2.21) имеет неопределенность. На инвариантной плоскости и = -1 выражение
(2.21) приобретает вид rg/R = = w/(w + 1+0. Следовательно, для всех
траекторий системы
(1.11), движущихся в окрестности плоскости и = -1, имеем rg/R << 1, т. е.
в соответствующих автомодельных решениях вещество находится вне
гравитационного радиуса.
§ 3. Преобразование автомодельных решений
в различных координатах
I. Автомодельные сферически-симметричные метрики могут быть представлены,
кроме конформно-статистического вида (1.1), также в виде
ds2 = exр (v0 (-^г)) c2dt2 - exp (-jp)) сШ2 - Д2ехр (ц,0 (-^-)) dO?,
(3.1)
где функции v0, А,0, щ удовлетворяют произвольной (вевырожден-
g 3) АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ В РАЗЛИЧНЫХ КООРДИНАТАХ 171
ной) связи F (v0, Я.0) [А0, ct/R) = 0. При этом плотность энергии е и 4-
скорость материи иг определяются формулами
с._с "(ct/Jt)
Ь -оо р2 '
(3 2)
(и° и1 и2 и3) - (вхр (~v°/2) г ехр (~ Хо/2) 0 сА
где cv (ct/R) - трехмерная радиальная скорость материи. Автомодельные
решения могут быть представлены в виде (3.1) также в сопутствующей
системе отсчета (см., например, [104, 105]), где вместо связи F = 0
имеется связь v - 0. Часто применяется запись метрики автомодельных
решений в виде
ds2 = X (-g-) с2 dt2 - Y (-J) dR2 - Д2 (de2 + sin2 6 d<p2) (3.3)
(связь F = (я0 = 0) и в синхронной системе отсчета (связь F = = v0 = 0):
ds2 = с2 dt2 - U (-J) dR2 - R2V (-J) (d02 + sin2 0 d(p2). (3.4)
И. Метрика (1.1) следующим образом отображается в синхронную метрику вида
(3.4):
-j-==/1(^exPt> -j- = /2^) ехр t, ? = lnr, (3.5)
где функции /1? /2 удовлетворяют уравнениям
= - exp (v))i/2,
(3 б)
4г=hhQ (Я ~ а ехР (v))~112-
При этом отображении коэффициенты метрики (3.4), радиальная скорость v и
плотность энергии е имеют вид
U = (/i - of ехр (v)) f?, V = ехр (2?) /j2,
____(f\ - <з ехр (v))1/2 + ufx е0а (1 - и2) wf2 ехр (- v) (3.7)
6 ---
/1 + u (f\ - G exp (v))1/2 ' PQ (1 + Щ uR2
Пересчитаем с помощью формул (3.5) - (3.7) в синхронную систему (3.4)
асимптотики решений, входящих при ? -> + оо в притягивающие особые точки
на отрезке DE (см. § 2). Получим асимптотики
172
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ В ОТО
[ГЛ. IV
Таким образом, при отображении (3.5) метрика (1.1) при ? -> оо переходит
в метрику (3.4), определенную в области R/ct < С2, причем при R/ct -> С2
метрика (3.4) невырождена. Поэтому решение гладко продолжается в области
ct/R < Cl1. При этом автомодельная переменная ct/R становится
времениподобной, а прямая ct/R = С2г является световой. Такое продолжение
решения возможно до ct/R = 0, при этом все параметры решения остаются
регулярными и новых качественных особенностей решения не возникает. В
области ct/R < ^ метрика (3.4) соответствует метрике (1.1) с а = -1, а
соответствующая ей траектория системы
(1.11) гладко продолжает в области и < -1 исходную траекторию.
Аналогично, в синхронной системе (3.4) продолжаются метрики
(1.1), соответствующие траекториям, выходящим при ? ->-оо из отрезка
отталкивающих особых точек EF.
III. Метрику (1.1) можно преобразовать к виду (3.3) с помощью
преобразования
где dcp/d? = Q2. При этом компоненты метрики, скорость материи v и
плотность энергии 8 имеют вид
Отметим, что скорость v движения ударной волны (на которой ct/R = const)
в системе отсчета (3.3) имеет вид v/c = (Y/X)'12*
Асимптотика решений, отвечающих сепаратрисам Z при ? -> ->-оо, после
преобразования (3.9) имеет вид (при R/ct0)
При ? -> + оо имеем R/ct -> Сг - так же, как и при отображении
(3.5). Метрика (3.3) может быть гладко продолжена в области ctfR < С[\
однако при ct/R -> 0 эта метрика, вообще говоря, имеет нефизическую
сингулярность с асимптотикой X ^ (ct/Ry, Y -* -> const. Эта сингулярность
устраняется с помощью указанного выше перехода (3.5) к синхронной системе
