Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Богоявленский О.И. -> "Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике" -> 55

Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.

Богоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике — М.: Наука, 1980. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikachestvennoyteoriidinamicheskihsistem1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 121 >> Следующая

этому направлению собственное число матрицы s& (в силу (4.12) sy <о).
На множестве К действует отображение Г, определенное следующим образом.
Если sy не является минимальным собственным числом матрицы^, то
отображение Т может быть двузначным и переводит точку (yih 4) в точку
(уи, sJk), где уи - проектор на другое собственное направление матрицы
отвечающее собственному числу, менынему, чем sy. Если sy - минимальное
собственное число матрицы то отображение Т однозначно и переводит точку
(Уи, 4) в точку где матрица si есть первая точка пересече-
з
ния кратчайшей дуги большого круга (на сфере 21 (^)2 = 1)"
К 7=1
проходящего через точки 4 и ytj, с поверхностью Нг (s) = 0.
Отображение этой комбинаторной модели в комбинаторную модель БЛХ
определяется тем, что собственные направления матрицы 4 совпадают с
"казнеровскими осями", а казнеровские показатели pt определяются
формулами
" _1_________2si
Pi-1 Sl + S2 + S3 '
где s±, s2, 5з - собственные числа матрицы 4*
§ 5. Некоторые общие свойства динамики однородных космологических моделей
с движением вещества
I. Построение динамической системы. Указанная в §§ 1, 2 конструкция
динамической системы на компактном многообразии 5, эквивалентной системе
уравнений Эйнштейна для модели IX типа, обобщается на все остальные
однородные модели с движением вещества х). Так же как и в § 1,
правоинвариантные при действии
х) Такое обобщение было проведено в работе А. А. Пересецкого [83],
которому и принадлежат результаты этого параграфа. Существование общего
колебательного режима поведения метрики однородной космологической модели
VII типа с движением вещества впервые было обнаружено в работе
§ 5] ОБЩИЕ СВОЙСТВА ДИНАМИКИ ОДНОРОДНЫХ МОДЕЛЕЙ 145
группы Ли G векторные поля Х°, X1, X2, X3 предполагаются выбранными так,
что структурные константы Cij имеют стандартный вид (1/1), а метрика ds2
имеет вид (1.2).
Подставим в тождество (1.4) тензор 1** вместо Rlj - 1/<igxjR (в силу
уравнений Эйнштейна (1.3)) и заменим вариации бRtj их выражениями через
вариации метрики 6gtj по формулам (3.5), (3.28) главы И. После этих
подстановок и при выборе времени т согласно (1.7) тождество (1.4) в силу
независимости однородных вариаций метрики бgtj (i, / = 1, 2, 3) приводит
к следующей системе уравнений:
^~^Ж7=пЧ+м"' <5Л)
где функции П*7 и имеют вид ( | g | = det (g*7-)) пу = 4-\g [6a21 g
Ig3i6? - 2a21 g | g3з б! +
+ a\g\+ agibgbratibran*], (5.2) Mi}= 1 8 (uV - kgabuaubgi}) I g |&+*>/a.
Функция L (gij, gu) в (5.1) получается из V2 It YI 8 I после отбрасывания
полной производной по времени и имеет вид
4-1*1*-(tm) <*2*8-*&*?) +
+ 4"l? |_(1+fc)/a [12а21 g | g33 - | g | gil | eijte | n'nk + g% nW],
(5.3)
где = gaygV^'
Так же как и в § 1, введем импульсы pV = dL/dgti и координаты = guPij•
Очевидно, что вид импульсов pxj и координат 4 одинаков для всех
однородных моделей (поскольку кинетическая энергия в (5.3) не зависит от
типа модели) и дается формулами
(1.16), (2.1).
Уравнение Эйнштейна - V2 R = Tjj имеет вид
я = 8 I g рад [(1 +*)"•(- g)-* - А], (5.4)
* 3L
где функция Н = gtj -------L выражается через фазовые коорди-
.. dSij
наты р\ gu по формуле
Н = [g|(i-t)/a- {(SP (V0g)Y - 2Sp (p°g°pog) -
---j-[12a21 g I g33 - I g I gil | eijk I nW -f g?,raV]}. (5.5)
146 КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ С ДВИЖЕНИЕМ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. IH
Система уравнений (5.1) и (5.4) эквивалентна системе (0, 0) и (i, /)
уравнений Эйнштейна (1.3).
Уравнения Эйнштейна i?oa = Тоа имеют вид
1 g \b-W4u0ua. (5.6)
Из уравнений (5.6) следует, что в однородной модели I типа (Cav = = 0)
включение движения материи невозможно (поскольку из
(5.6) следует, что ua = 0). Для однородной модели II типа (п1 = = п2 = а
= 0, пъ = 1) из (5.6) получаем и3 = 0, в то время как их и и2 могут быть
ненулевыми. Для остальных моделей III-
VIII типов возможно введение всех трех компонент скорости материи.
Уравнения (5.4), (5.6), так же как и для однородной модели
IX типа, являются связями, позволяющими выразить компоненты скорости
материи иг и плотность энергии 8 через компоненты метрики gij и импульсы
рг\ Учитывая условие (1.12), ив (5.4) и
(5.6) получаем следующие выражения:
2 ги\ | g |(i-")/" = Н + (Я2 - (Т^2 XaXbgab | g |*)1/2 = Z,
(5.7)
Xt = - 4C% = 4 8jik nk - as$8i + 3asl
Система (5.1) после подстановки выражений (5.6) и преобразования в
фазовые координаты рг\ принимает вид
iu=w- (5'8)
Здесь функции Пг; определяются формулами (5.2), а функции Мг; в силу
(5.7) имеют вид
Mij = 4 | g I* lPXj - kgij (gabX"Xb)]/( 1 + k) Z. Динамическая система
(5.8) после преобразования в коорди-натж (2.10) и замены времени (2.11)
принимает вид
^L=(i-k)H1(6}-s}sZ) +
+ • (l+k)Zl- W ~ $ SP * + w (Qi ~ 8i SP
Jg= 8 w (Sp s - 2Sp (z/2°s)) -
dy
2w Г(1 - к) Нг Sp s + ¦Sp (sfo5) + w Sp (s'o^i,
L ( ' 1 (5.9)
- = 8 (- yirts) + у a Sp (i/2°s)),
dx
= 4G (Sp s - 2 Sp (y2°s)).
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ДИНАМИКИ ОДНОРОДНЫХ МОДЕЛЕЙ
147
Здесь использованы следующие обозначения:
В) = - y^xixj + кЬ)уаЪхахъ,
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed