Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
стороны разрыва, в дозвуковой и сверхзвуковой областях соответственно):
ггпи л (r)i *2{u2 + k2)
[iij - и: - -г- - ¦ - -г-
1 - и2 1 ¦
r/rll П. (1 "Ь ^l) г1и1 _ (14- к2) (r)2W2
Uol - и- : ГГ" - -г-9.-
(2.1)
1 - и\ i Г-
Отсюда получаем соотношения
(1 + &х) иг _ (1 -j- h) U2 __ 1 -f- fc2 в щ в ^ Ц1
и\-\-кх и2-\- к% ' 82 1 + ^1 щ i - u2
определяющие и2, г2 по найденным из решения иъ гъ причем из
(2.2)
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
161
двух значений и2 (при к2 ^ к±) выбирается сверхзвуковое (и% ^> к2). Из
условия | и2 | < 1 и (2.2) следует, что | их | ]> кг. При к2 = кг имеем
иги2 = къ при к2 = 0 и2 = (и\ + к^/их(\ + &i). Из выражения (1.12),
непрерывности функций v, Я, г и первого соотношения (2.2) следует, что на
фронте ударной волны функция w (и v' = wr) непрерывна. Таким образом,
функции v, Я, г, v', w, Q на разрыве непрерывны, а скачок и и е
определяется из (2.2).
Перейдем к исследованию динамической системы (1.11) в области | и | < 1.
Поведение решений в этой области представляет наибольший интерес,
поскольку именно здесь в решениях возникают разрывы, соответствующие
ударным волнам.
II. Пепродолжимость решений при 0 <[ и <[ 1. Сферически-симметричные
автомодельные решения в области 0 ^ и 1 описываются траекториями
динамической системы (1.11), лежащими в области S0 : Q ^ 0, w ^ О, V ^ 0,
0 ^ и 1. Из вида функции V
(1.12) легко следует, что эта область является ограниченной: здесь
Покажем, что все траектории в области S0 при некотором конечном г = гг
выходят из поверхности Ь+ (и = к1'2). В области
О < и < /с1/* это следует из того, что в силу системы (1.11) й << О и
| гг | -> оо на В области W* < и < 1, в силу системы (1.11), имеем w - w
]> 0, поэтому, в силу ограниченности области 50, все траектории при
некотором конечном г выходят из поверхности L+. Вследствие этого в
области S0 даже с введением разрыва нельзя получить ни одного решения,
определенного при г -> 0. Поэтому решения в области S0 (0 < и < 1) не
имеют физического смысла и в дальнейшем не будут рассматриваться.
III. Разрешение особенностей динамической системы при
- 1 ^ и 0. В рассматриваемом случае автомодельные сфериче-ски-
симметричные решения определены в области Sx : Q 0, w ^ 0, V 0, -1 и 0.
Область Sx неограничена по w; при
- к <С и <i 0 из условия V 0 получаем Q < 1, а при -1 <
<С и < - к получаем Q < (1 + Щ | и \ (к + гг2)""1. На плоскости и = 0
условие V 0 вырезает отрезок 1Х (и = w = 0, 0 <?< 1)
и полупрямую 12 (и = Q = 0, w ^ 0), на которых динамическая система
(1.11) становится сингулярной. Для исследования динамической системы
(1.11) в области S± мы преобразуем эту систему в систему, определенную на
некотором замкнутом трехмерном многообразии S с границей Г и имеющую
только невырожденные особые точки. Построение многообразия S
осуществляется с помощью следующих замен координат:
1. Разрешение сингулярных линий 1г и 12:
0<<?<1, -1<н;<0
и
(2.3)
?->0. (2.4)
U
162
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ В ОТО
[ГЛ. IV
2. Пополнение многообразия Sx на бесконечности по координате w:
Q " " 1
? = -
и, V :
К
(2.5)
Замкнутое трехмерное многообразие S покрыто системами координат (1.10),
(2.3) - (2.5) и выделяется в них следующими условиями:
Q,w,v> 0, и, их, q < 0,
F (Q, и, w) 0, -1 и 0.
Граница Г многообразия S состоит из шести компонент Г* (г = = 1, . . . ,
6). Условия, определяющие компоненты границы и системы координат,
продолжающиеся на Г*, имеют вид
Г, : v = 0 (2.5); Г2 : и = -1 (1.10);
Г3 : и = 0 (2.3) - (2.4); Г4 : F = 0 (1.10);
Г5 : Q = 0 (1.10), (2.3); Г6 : w = 0 (1.10), (2.4).
Укажем вид динамической системы (1.11) после преобразования в координаты
(2.3) - (2.5). Система (1.11) в координатах (2.3) и переменной ? имеет
вид |f
Г 4 2 2 1 + И2 .
<7 = g 1 - до - фи2 - wq-----^-----\-
+ ^т^{^^-к)-2к + -т^тя\иЦ\-к)-к{\+Ък)\]],
м> = и;?-1-w - q2u2- wq 1 и-------2q 1 ^ А (1 - и2)-
-9(1 + и2)], (2.7)
й = -и-^=т {-т (4 " *) + "rpr? l"2 (*-*) -
- Л (1 + 3/с)] - 2&} . Система (1.11) в координатах (2.4) и переменной
?)1 имеет вид
Q = Q (ui (- 1 + w + Q2) + W¦
1 - U2Q2 f WUl (1 _ ?)
m = Ui
Q2-
1 + M2Q*
ufQ* (1 - A) - к (1 + 3*)
2
- 2кщ -f- ¦
- Mi (- 1 + w + Q2) ¦
¦w
1 + k 1 -j- ujQ2
(2.8)
W :
U1 (1 + w + Q2)
w(l-f-u2Q2) 2k (1- u2Q2)
+
i + k
+ 1 + u\Q2
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
163
Система (1.11) в координатах (2.5) и переменной ?2 имеет вид q = q^y- 1 -
vq2u? - q • +
+ "fer {"Чг- + ~TfTvq <"* (1 - A) - A (1 + ЗА)) - 2^}] ,
v=v[i +v + vq2u* + q 11, U% + 2gi;-T-pF(l- u2)+
+ qv(i + u2)] , (2.9)
-y-v-fc- qv (u2{l-k) - k{ 1 + 3&)) - 2yftJ.
1
¦ u
и2 - к
Динамические системы (1.11), (2.7) - (2.9) в координатах (1.10),
(2.3) - (2.5) определяют динамическую систему на многообразии S, которая
гладко продолжается на границу Г и имеет только невырожденные особые
точки.
IV. Исследование особых точек динамической системы на многообразии S.
Рассматриваемая динамическая система имеет восемь изолированных особых
точек:
