Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
(2.15), не имеющие особенности в центре симметрии и обладающие
произвольным конечным числом радиальных колебаний газа.
§ 5. Автомодельные решения с расходящимися и с коллапсирующими ударными
волнами
Проведенное выше исследование динамической системы (1.11) показывает, что
в дозвуковой области многообразия S (0 и -к1?2) существуют траектории
этой системы следующих четырех типов: А) траектории, выходящие из
отталкивающих особых точек 1г; В) траектории, заполняющие двумерную
сепаратрису Z особой точки Zx (в частности, сепаратрисы Х2 и X особых
точек Z2 и Z3); С) траектории, заполняющие двумерную сепаратрису Lv
выходящую из отрезка особых точек 1г; D) траектории, выходящие из
поверхности Vl. (По всей видимости в многообразии S нет траекторий,
наматывающихся на какие-либо инвариантные подмножества, и тогда каждая
траектория в "дозвуковой" области
178J
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ В ОТО
[ГЛ. IV
принадлежит к одному из перечисленных четырех типов.) Среди траекторий
указанных четырех типов назовем траекториями типа Ё траектории, входящие
в отрезки особых точек 1г и /2 (и заполняющие поэтому сепаратрисы Ь2 и L,
см. § 2).
I. Траектории типа A is. В исследовались в § 4, где указаны их приложения
в решении задачи о распаде равновесия звезды. Эти траектории могут быть
использованы также при исследовании распространения расходящейся ударной
волны в движущемся (в системе отсчета (3.3)) потоке газа. В этом случае
разрыв на траектории вводится при г = г0 в некоторой точке "дозвуковой"
области многообразия 5, не лежащей на линии Y (4.1). В "дозвуковой" ( | и
| < к12) области решения имеем г < г0, следовательно, скорость газа и (и
< 0) направлена внутрь "дозвуковой" области, где, согласно (2.2), ёх ё2,
т. е. ударная волна является волной сжатия. Радиус R0 ударной волны равен
I ехр (т) г0 = i?0, следовательно, i?0 -> оо при т -> оо, т. е. ударная
волна является расходящейся.
В случае сильного разрыва, т. е. при щ х -к, сшиваемое с данным решением
сверхзвуковое решение имеет в разрыве и2 ж ж -1 и поэтому, как отмечалось
в § 2, соответствующая траектория движется вдоль компоненты границы Г2 (и
= -1) до попадания при г -> оо в некоторую притягивающую особую точку на
отрезке DE. При этом автомодельная переменная ? = In г становится
световой и далее, как показано в § 3, при времениподобной переменной ?
решение продолжается в синхронной системе (3.4) в области ct/R ^ 0.
Разрыв в решении происходит при постоянном значении ? = In г0, т. е.
ударной волне отвечает ct/R = const. Следовательно, в синхронной системе
(3.4) ударная волна движется с некоторой постоянной скоростью vQ.
Образование ударной волны происходит в центре симметрии R = 0 при t = 0.
Bj этот момент трехмерная метрика (3.4) U (0) dR2 + R2V (0) dQ2 имеет при
U (0) Ф V (0) коническую особенность в нуле, на бесконечности метрика,
очевидно, плоская; скорость газа v (0) постоянна по пространству,
плотность энергии е = c0/R2 (такое распределение плотности энергии в
конечной области может реализоваться, например, в результате постоянного
истечения вещества из звезды).
Траектории типа А описывают решения, в которых газ вытесняется изнутри
сферическим поршнем (см. § 2). Решения, соответствующие траекториям типа
В, в системе отсчета (3.3) имеют при R/ct -> 0 асимптотику (3.11). Отсюда
получдем следствие: 1) решения типа В с расходящейся ударной волной
продолжаются до центра симметрии R - 0, причем в центре симметрии метрика
после выхода ударной волны (t ^> 0) не имеет особенности; 2) газ в
окрестности центра симметрии движется от центра (с линейной
РАСХОДЯЩИЕСЯ И КОЛЛАПСИРУЮЩИЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ
179
асимптотикой скорости (3.11) при R -> 0); 3) плотность энергии вблизи
центра приближенно постоянна по Д и падает как c0/t2.
И. Траектории типа С при убывании параметра ? непрерывно продолжаются
через отрезок 1Х в сверхзвуковую область (см. рис: 23). После такого
однозначного продолжения траектории типа С (сепаратрисы Li), проходящие
через отрезок 1Х в окрестности точки г0, аппроксимируются
последовательностью сепаратрис FG, CZb Z(cm. рис. 21, рис. 22, к =
5). Таким образом,
траектории типа С при возрастании ? движутся в окрестности сепаратрисы Z
и поэтому, так же как и траектории типа 5, соответствуют решениям с
расходящейся ударной волной. После введения разрыва эти траектории
продолжаются в синхронной системе отсчета (3.4) в области Vx: Сх > ctxIRx
0 (где автомодельная переменная ? времениподобна).
Однако поведение решений типа С в области за ударной волной существенно
отличается от решений типа В. Из указанной выше сепаратрисной
аппроксимации следует, что решения типа С после гладкого продолжения
через точки отрезка 1г в сверхзвуковую область при ? -> -оо входят в
притягивающие (при таком направлении ?) особые точки отрезка EF. При этом
автомодельная переменная ? снова становится световой и, как показано в §
3, решение гладко продолжается при времениподобной переменной ? в,
