Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
вдоль сепаратрис (5.13) К3 -> Кх, К2 происходит смена казнеровских
показателей р% и поворот казнеровских осей (собственных векторов матрицы
4)*
Покажем, что преобразование собственных чисел матрицы s{ (и связанных с
ними казнеровских показателей pt, см. (4.8)) при переходе (5.13) из
особой точки Р (г/г-7*, s{) в особую точку P'Qjiji (4)') не зависит от
типа однородной модели. Действительно, динамическая система (5.9) -
(5.11) инвариантна относительно действия матриц А из группы автоморфизмов
Ant (@) алгебры Ли @ группы G:
" - Рг (AsA -1), у - Рх (АуА% (5.15)
где оператор Рх означает проекцию матрицы х) на единичную сферу:
С помощью преобразований (5.15) матрицы ytj и s) можно привести к виду
1 0 0\ /"1 "]
150
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ С ДВИЖЕНИЕМ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. III
В случае модели VIII типа возможно еще приведение матрицы ytj к виду уа =
8*8; (см. [83]).
В силу (5.13) имеем
(4)' = 4 (*i) = const |j| s;k II -f 2 (s2 4- S3 - sx) |o 0 oj j .
(5.17)
Поэтому преобразование казнеровских показателей pt= 1 - 2stx X(s± + s2 +
s3)_1 при переходе (5.13) не зависит от типа модели (и указано в § 4).
Связь углов поворота казнеровских осей, которые для матрицы s{ вида
(5.16) можно записать в виде (4.10), отличается от (4.11) и имеет вид
tgB 'п _ а-2 ' _
tgen - м + 2 + 4а tg 0 cos ф ' ¦(рп- фп'
" . (5.18)
а + 0т 2м - 1 V
а + ctg 0^ 2и + i
Отметим, что при приведении матрицы 4 с помощью преобразований (5.15) к
треугольному виду (5.16) собственные векторы матрицы si преобразуются
матрицами А, которые для всех однородных моделей, кроме модели IX типа,
не являются ортогональными и поэтому изменяют углы между векторами.
Вследствие этого в общем случае закон поворотов казнеровских осей зависит
не только от их взаимного расположения (начальных значений 0т, вп, срп),
но и от их расположения относительно базисных векторов X1, X2, Xs.
Для всех однородных моделей с движением вещества, так же как и для модели
IX типа (см. § 3), можно полностью исследовать все особые точки
динамической системы (5.9) и соответствующие им асимптотики. Это
исследование было проведено в работе [83], где показано, что все
имеющиеся особые точки и асимптотики являются обобщениями особых точек и
асимптотик, имевшихся в однородных моделях без движения вещества (см.
главу II), и качественно новых асимптотик и особых точек при включении
движения вещества не возникает.
§ 6. Однородная космологическая модель IX типа с электромагнитным полем
I. Уравнения Эйнштейна - Максвелла в лагранжевой форме.
Электромагнитное поле в однородной космологической модели IX типа, так же
как и метрика, инвариантно при правых сдвигах по группе SO (3), Метрика
имеет вид (1.2), где g0Q (t) == 1, Вектор-
§ 6]
МОДЕЛЬ IX ТИПА С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ
151
потенциал электромагнитного поля в базисе Х°, X1, X2, X3 имеет координаты
Тензор электромагнитного поля Fik = A^i - Aв рассматриваемом базисе имеет
вид
где значок V хг означает производную Ли по полю Xх, a Cski -
структурные константы: [Хг, Хк] - C\kXs, С^ = Ch = 0. Выбирая структурные
константы группы SO (3) в стандартном виде
(1.1), из (6.1) получаем, что
Тензор Filc вследствие градиентной инвариантности не зависит от
компоненты А0 (t); в дальнейшем полагаем А0 (t) = 0.
В однородной космологической модели метрика gtj и вектор-потенциал At
удовлетворяют уравнениям Эйнштейна - Максвел-
Эти уравнения, как известно, следуют из вариационного принципа
при независимом варьировании всех компонент метрики giS и вектор-
потенциала At. В дальнейшем мы используем систему единиц, в которой 2&/с4
= 1.
Вариационный принцип (6.3) при условиях однородности метрики и
электромагнитного поля переходит в лагранжев принцип
At = (А0 (t), Ах (t), А2 (t), Аз (*)).
Fik = Cki-As + ~
(6.1)
ла (см. [84, 93-99])
F% - 0, i, к, I, m = 0, 1, 2, 3.
(6.2)
6 j (Li + L2) dt = 0,
(6.4)
где
la = 4" V\g I №4~ *5*?) - (21 g | - gatfc"),
Xa = gaygrt, | g\ = det J gagl ||, I
(6.5)
Lt ---------------------------------------2~ AaAfig1*** УI g I + /jyj
•
152 КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ С ДВИЖЕНИЕМ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. Ш
Уравнения Лагранжа д (Ьг + L2)/dq = (d/dt) (д (Lx -f L2)/dq),
соответствующие (6.4), эквивалентны "тензорным" компонентам уравнений
Эйнштейна при г, к = 1, 2, 3 и уравнениям Максвелла при i = 1, 2, 3 (см.
(6.2)). Уравнение Максвелла F*§ = 0 выполняется тождественно в силу
однородности метрики и электромагнитного поля. Уравнение Эйнштейна
в00 - Чг gooR = ~ FoiFlo + 1hFlmFlmg00
означает, что Н = О, где Н - энергия, отвечающая лагранжиану Ьг + Ь2.
Уравнения Эйнштейна
Roa = - FtfFa-fgV*
имеют вид
- =A&Aig*, (6.6)
где Суа - структурные константы SO (3) в стандартной записи
(1.1).
Таким образом, уравнения Эйнштейна - Максвелла (6.2) для однородной
космологической модели IX типа с электромагнитным полем эквивалентны
лагранжевой системе с лагранжианом L± + + L2, рассматриваемой на уровне
связей (6.6) и Н = 0 (ниже мы покажем, что связи (6.6) сохраняются
