Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
2(1-3y + 0 + ^(0-3)) + g)(1-3y-3^)(F-2/0) i4
где (j, находится между двумя числами: |лх = (1 - 3у)/3 и |j,2 = = (1 -
Зу + со)/(3 - со). При у < 4/3 имеем \ix < [х2 и Фц < 0; при у 4/3 имеем
\i± [д,2 и Фй ]> 0; при у = 4/3 [хх = (i2 - -1
и Ф_! является первым интегралом системы (1.14). Отметим, что монотонную
функцию Ф^ можно получить также из интеграла адиабатичности (1.12).
Существование монотонных функций (1.36) доказывает, что система (1.14)
при у Ф 4/3 не имеет особых точек внутри многообразия S - все особые
точки этой системы лежат на различных компонентах границы Г (а также на
поверхности непродолжимости решений L = 0). Динамическая система в
многообразии S имеет шестнадцать изолированных особых точек:
А (иг = т3 = р2 = 0), В (и3 = р3 = Мх = 0), С [vx = иг =
= ц = 0),
Сг {v2 = и2 = (X = 0), D (у6 = и3 = М0 = 0),
Н (т) = и2 = пг4 = 0),
Zi(vi = mi = u = 0), Z6 (со > 2) (г;4 =' - " ^ , тъ = и = о),
Z6 (о < 2)(z = т = 0, F = 1), Z8 (v = z = т = 0),
и четыре линии особых точек:
(и, = М2 = 0, - оо< у5 < 0), DtG (М0 = и3 = 0,
- 00<J Vi 0),
РАЗРЕШЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
191
1г12, /3/4 (z = vl 77г = 2i^o + ^0[со + 2 - 4((0 - i)/y] оГ1 +
+ 2 (со - 2) со'2),
JXJ2 (2 < со < 3) (vb - -со2/2 (со - 2), иъ = 0, 0 ^ М2 оо).
При у = 5/3 на компоненте границы Тг имеется линия особых точек X,
проходящая через особые точки Z2, /4, Z10:
m\ = -vx (3 + i?)/2, po = 0, - oo< Vi < 0.
При у = 4/3 имеются две линии особых точек: Хи проходящая через особые
точки Z7, Z9 и пересекающая отрезок особых точек /3/4: z = 4/27 - 2иг/3,
F = 2/3, 0 < m <; 2/9 (см. [7]), и Х%,
Рис. 26. Многообразие S после разрешения вырожденных особых точек
динамической системы (1.14) и пополнения физической области границей на
бесконечности по координатам z, V.
проходящая на компоненте границы Г2 через особые точки Zhx Z2, Z3: po =
0, v0 = - ((3 - со)/со + тю2/3), 0 < m2 < оо. Пр, 7 - Yi = 2 (со - 1)/со
имеется линия особых точек Хъ, являющаяся пересечением компонент границы
Г6 и Г7 и проходящая через особые точки Z4 и Z5:
р4 = пг2 - 0, 0 и оо.
На рис. 26 изображен вид на многообразие S "через" компоненту границы 1\.
Здесь показаны все особые точки, кроме отрезков IJ2, /3/4, лежащих на
поверхности непродолжимости решений L = 0 (пунктиром показано пересечение
компонент границы с по-
192
АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ
[ГЛ. V
верхностью L = 0). Указано качественное поведение динамической системы на
компонентах границы Г при 2 < со < 3, У > (То = 4 (со - 1)(2 - (со -
2)1/*)-*, 4/3}.
V. Исследование линии особых точек Jir2,1*3^4* Линия особых точек
1г12, /3/4 лежит на поверхности непродолжимости решений L = 0. При со > 2
эта линия состоит из двух отрезков 1Х12 и /3/4, если у 70; если же у <
у01 то имеется только один отрезок 1г14. Концевые точки определяются из
условий Ix (v0 = 0); /2, /3 (m (i;0;2,3) = 0), A (v0 ^ -°°) и лежат
соответственно на компонентах границы Г3, Г7, Гх. При со < 2 имеется
только один отрезок /3/4.
Для исследования линии особых точек I (/х/2, /3/4) сделаем немонотонную
замену переменной:
-[т iv-г-) (г-(v-г-)*)]"1-
В новой переменной т0 поверхность непродолжимости решений L = 0 всюду,
кроме линии особых точек /, становится неособой поверхностью динамической
системы (1.14). Собственные числа Xlt 2 системы (1.14) в точках линии I
(в переменной т0) удовлетворяют характеристическому уравнению
2
Х,*_Л^.(Зов -10)Х +
+ y*Vo |2 (Зу - 5) vl + - (- 7 + Зу -1----- 4- соу - 2оjj v\ +
+ W [т^2 -Т" -4^2 -3'J) -2 + 6у + 16 (<0~ ] v0 +
+ 4(<а-2)(<а - 3) (у + 1) со-3} = 0 (1.37)
(собственное число = 0 в силу одномерности линии /).
Существенно отметить, что траектории системы (1.14), продолжающиеся (в
переменной т) через поверхность L = 0, обязаны проходить через особые
точки на линии /, причем только через те точки, которые в силу (1.37)
являются узлами или седлами. Примеры таких траекторий будут указаны ниже.
VI. Заключительные замечания. Вычисление собственных чисел особых точек
динамической системы (1.14), проведенное ниже, в §§ 2-4, показывает, что
все особые точки (кроме линии /х/2) являются невырожденными. Это и
означает, что при построении многообразия S осуществляется разрешение
особенностей исходной динамической системы (1.14).
Разрешение особых точек линии /х/2 с помощью последовательности
стандартных преобразований координат (называемых в алгебраической
геометрии сигма-процессами вдоль многообразия) приводит к своеобразному
зацикливанию: применение таких преобразований в любом конечном числе
приводит к появлению
АСИМПТОТИКИ РАЗЛЕТА ГАЗА ОТ ЦЕНТРА
193
наряду с линиями невырожденных (и неустойчивых) особых точек Mt новой
линии вырожденных особых точек, свойства которой те же, что и свойства
исходной линии особых точек JXJ2. При этом невырожденные особые точки Mt
не имеют сепаратрис, входящих в них из физической области,- их
сепаратрисы лежат на компонентах границы Г и не отвечают никаким
физическим решениям. Вследствие этого и исходная линия вырожденных особых
