Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
точек JXJ2 не имеет физических применений.
Шесть изолированных особых точек: А, 5, С, Сх, D, Н и особые точки на
отрезках EF, DXG являются неустойчивыми (седловыми), причем все их
сепаратрисы лежат на компонентах границы Г иЪоэтому им не отвечают
никакие точные физические решения, ffe Десять изолированных особых точек
Zt наиболее важны в рассматриваемой системе. Эти особые точки имеют
сепаратрисы, проходящие внутри многообразия S, которым отвечают важные
физические асимптотики решений. В следующих параграфах мы укажем
собственные числа %х особых точек Zt (в переменных т;-, определяемых
согласно (1.18) - (1.33) по координатам особой точки; буквенный индекс х
внизу указывает соответствующее собственное направление) и
соответствующие им асимптотики. Для удобства изложения мы сгруппируем
особые точки Z*, в соответствии с физическим смыслом определяемых ими
асимптотик.
§ 2. Асимптотики разлета газа от центра
Асимптотики разлета газа от центра распадаются на два класса:
асимптотики, в которых движение газа продолжается до центра симметрии г =
0, и асимптотики с образованием расширяющейся пустоты внутри газа.
Асимптотики разлета газа, продолжающиеся до центра симметрии,
соответствуют сепаратрисам особых точек Zb Z9, Z6 (со < 2),
(у - 4/3), Z7. Укажем собственные числа динамической системы на
многообразии S в этих особых точках и явный вид соответствующих
асимптотик.
т v L _ 4 (со - 1) 67 __ 4 (со - 1) - 6Y
zi ^о ---------------, m2 - po- UJ. KVo ---------------,
n ___ 4 (^ - 3y) (со - 1) ^ __2 (со - 1) + 3y (2 - со)
^- - 3^ *
Особая точка Zx лежит в многообразии S, если у ]> 2 (со - 1)/3. Точка Zx
имеет сепаратрисы, проходящие внутри многообразия 5, в двух случаях:
1) 2 (со - 1)/3 < у < 4/3. Точка Zx неустойчива (%ш < 0, ^гп2 ^>0" ХРо
> 0) и имеет двумерную выходящую (при X -> 0) сепаратрису;
2) 7 ]> 2 (со - 1)/3 (со - 2) (при этом со ]> 2). Точка Zx является
притягивающей при % -" с".
194 АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ [ГЛ. V
Соответствующие^асимптотики (при X -:> 0 и X -> оо) имеют ВИД
Л = Civ4r3~"Xa, р = C^AWt'(r),
р = (2.1) а = 2(ь) 1)6, Ъ=
Особая точка Z9 (V = 2/3, z = 0, т = 2/9):
^ _ 3(0 - (о .____ w (4 - Зу)
m ~ 2(3 - (о) ' 3-ю ' Аг - 3-0 •
При у < 4/3 имеется двумерная входящая в Z9 сепаратриса
(X-" оо), а при 7 ]> 4/3 - двумерная выходящая из Z9 сепаратриса (X ->
0). Соответствующие асимптотики (при > О, ^ -> оо) имеют вид
/у_ 2 гз _1 _2 г
9 G?2 ' Р - 6jta2 ' V ~ 3 t '
, , о (2.2)
Р=С1^Г (AG)a - *2"Л a = .
Асимптотики (2.1) описывают разлет газа с асимптотически постоянным (по
г) давлением, а асимптотики (2.2) описывают разлет газа с асимптотически
постоянной (по г) плотностью. При у = 2 (со - 1)/со имеется одномерная
сепаратриса, выходящая из Zx и входящая в Z9, вдоль которой
V = 2/3, т = 2/9, 0 < z < 00. (2.3)
Для этой сепаратрисы асимптотики (2.1) и (2.2) являются точными
решениями, указанными ранее в книге [7].
II. Особая точка Ze (со < 2) (z = т = 0, V = 1):
1 (О ^ _____ 3(0 (у - 1) ^ __ (О
hm- 2 _ о) ' ^ - 2-0) ' - 2 - (о *
Особая точка Z6 (со < 2) является отталкивающей. Сепаратрисы, выходящие
из этой особой точки, имеют при X -> 0 асимптотику Л = ^(з-ш)/(2-со)
<2-4>
р = c,1i42Gr''2((0"1^(0^"2(C0~1^/(2"0)), v = y •
В этой устойчивой при t -> 00 асимптотике материя движется от центра с
постоянной скоростью, причем число Маха течения газа М -" оо.
АСИМПТОТИКИ РАЗЛЕТА ГАЙА ОТ ЦЁЮРА
195
III. Линия особых точек (у = 4/3) (z = 4/27 - 2/п/З,
V = 2/3, 0 иг 2/9) лежит внутри многообразия S, поэтому особым точкам
линии <3$! отвечают точные решения, указанные впервые в книге [7]. При 0
^ т В = 2/9 - 2 (3 - со)2/Зсо2 (отрезок <3?i в "дозвуковой" области L >
0) эти решения устойчивы при X -> оо; при В <С т <С 2/9 эти решения
неустойчивы. Особые точки на линии (у = 4/3): р0 = 0, v0 = -((3 - со)/со
+ + ттг2/3), 0 ^ ттг2 ^ оо, имеют собственные числа
1 __ 1 / (3 - (О) , _ \ 1 _ о 7 - 7772 3 (3 - (О)
^ - Х\-~ + (tm)2) ' ^ -и' ^2 -"з-------------------(r)-•
Эти особые точки при т2^> 9 (3 - со)/со являются отталкиваю-
щими - им соответствует трехмерная выходящая сепаратриса (X -> 0), а при
т2 < 9 (3 - со)/со являются неустойчивыми - выходящая из них сепаратриса
двумерна. Соответствующие асимптотики при X -> 0 имеют вид
п = Л1 jt~ 03. Г-Шт,а2 v - Jh- JL 0 -
Р т2 2яусо ' 3 ? ' . (2.5)
___ о 3 - (о + соттг? _ 3 (о) - 1) - (от2
а 3 (3 - со) + (от2 ' (о '
а2 = (3 (3 - со) + сота)"1, М = Г2*3"^0^.
В асимптотике (2.5) плотность и давление в центре (г -> 0) бесконечны.
Особая точка Z3 (т2 = 3 (со - 1)/со, v0 = -2/со, р0 = 0) делит линию на
две части: при т2^> 3 (со - 1)/со в асимптотике (2.5) газ падает (v < 0)
на центр за бесконечное время; при т2 < 3 (со - 1)/со имеем разлет газа
от центра, причем линии тока выходят из центра при t = 0.
IV. Особая точка Z7 лежит в многообразии S при всех со ^ 2
^ D 1 + со ^ ^2(со - 1) гр ~
и при со 2, если -^у <С'з ^ • Точка Z7 лежит в "дозвуковой области" L 0,
