Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
261
интенсивности поля излучения при термодинамическом равновесии.
Выполнив интегрирование по частоте, уравнение переноса при сделанных упрощениях можно написать в следующем виде:
? = аВ -а/; В = -?-7*. (7,3,4)
где / — полная (интегральная) интенсивность излучения, В — функция Стефана — Больцмана, равная полной интенсивности поля излучения при термодинамическом равновесии. Через сна обозначены скорость света и коэффициент пропорциональности в законе Стефана — Больцмана для интегральной плотности поля излучения.
Интенсивность излучения в (7,3,4) будем рассматривать как функцию полярных координат г, 0 (см. рис. 27). Для перехода воспользуемся соотношениями rcoso = s, rsino = а9 из которых сле-
dr г, dQ . п
Дует: -JJ- = cos 0, г= — sin 0.
D * d д dr , д dO
Выполнив преобразование = + -щ , представим
уравнение переноса в форме
dl л dl sin 9 п г _С03Є-Ж— =Ofi-O/,
ИЛИ
т D I І dl л dl sin 9 \ /7 о c\
/ = B--- cos 0 ^g- — J. (7,3,5)
Можно показать, что на достаточно большой глубине второй член правой части (7,3,5) по абсолютному значению гораздо меньше первого. Поэтому с удовлетворительной для наших целей точностью во втором члене можно положить I = B. Следовательно,
I(r9 0) = B- ^r^r cos0. (7,3,6)
В теории внутреннего строения звезд эта формула обеспечивает достаточно хорошее приближение.
Вычислим плотность энергии и поток поля излучения внутри звезды. Первая из этих величин определяется формулой Pr =
= 4" j Ida. Через dco здесь обозначен элементарный телесный угол,
внутри которого в данную точку поступает пучок излучения с интенсивностью I. Введя азимут <р, можно написать da) = sin0d0d<p. При интегрировании угол ф изменяется в пределах от О до 2л, а 0 принимает значения от О до я. Внеся (7,3,6) и выполнив интегри-
рование, получим рг = —В=аТ*. Это показывает, что внутри 262
Г лава Vit. Строение зве ід
звезды плотность энергии поля излучения определяется таким же законом, как при термодинамическом равновесии.
Обозначим через H (г) поток поля излучения, т. е. количество энергии, которую в секунду переносит излучение через единичную площадку, помещенную на расстоянии г от центра звезды и расположенную нормально к радиальному направлению. Эта величина вычисляется по формуле H (г) = ^ / cos Odo). Воспользовавшись соотношением (7,3,6), найдем
н ( \ — — JS^Lju^L _ 4я dB dr tlVf- За dr - SadTdrj
или, если внести выражение функции Стефана — Больцмана, согласно (7,3,4),
H (г) = -^-7^. (7,3,7)
Этим равенством определяется лучистый перенос энергии в звезде.
Вычислим еще давление радиации внутри звезды. Пучок излучения, проходящий через нормальную к г площадку da в направлении s внутри элементарного телесного угла dw
(см. рис.27), переносит в секунду импульс / cos Odwda. Проекция этого импульса на радиальное направление, отнесенная к единичной площадке, равна / cos20 da). Поэтому полный перенос импульса в указанном направлении, т. е. лучистое давление, составляет Pr = j I cos2 Oda). Вычисление с помощью (7,3,6) приводит 4я 1
к значению pr = ^ В = аТ4, совпадающему с известным законом
термодинамического равновесия.
Большинство известных звезд, образующих так называемую главную последовательность диаграммы спектр — светимость, состоит из вещества, которое с высокой степенью точности можно считать идеальным газом, удовлетворяющим классической статистике
Больцмана. В частности, звездное вещество отвечает обычной
р
формуле Клапейрона р = — р7\ где R — универсальная газовая
И
постоянная, р, — молекулярный вес звездного вещества, т. е. приходящееся на одну частицу среднее значение массы, выраженное в относительных единицах (с достаточной точностью эту единицу можно отождествить с массой атома водорода). Для смеси нейтральных газов молекулярный вес определяется точным химическим составом вещества. В нашем случае вычисление этой величины значительно упрощается и не требует точного знания химического состава веще- 3. Условия внутри звезд
263
ства, так как последнее в глубоких недрах звезды почти полностью ионизировано.
Составим общую формулу для молекулярного вещества в предположении полной ионизации.
Обозначим через Xi относительное содержание в звездном веществе элемента с атомным весом Ai и зарядом ядра Zi. Если р — плотность вещества, то в 1 см3 данный элемент имеет массу pxit а число его атомов равно , где тр — абсолютная масса протона. Число частиц (ядер и свободных электронов), возникающих в 1 см3 при ионизации этого элемента, равно (Zi + 1). Полное число частиц составляет 2 (Zi + 1). Разделив массу вещества в объеме 1 CMz1 выраженную в относительных единицах ^r. е. величину
на полное число частиц, получим
__1_
Выделим два члена суммы, соответствующие водороду и гелию. В выражении
2*н + 4*не + 2т(г'+1)
суммирование относится ко всем более тяжелым элементам, входящим в состав звездного вещества. Для этих элементов можно принять Zi * 1 ^ 4" . Следовательно, предыдущее выражение при-
Ai 2,
