Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Pe = Af(X); р = Вх\ (7,6,2)
где
f(x) = х (2л:2 — 3)(1 + X2)2 +Sarcshxt (7,6,3) а через А и В обозначены постоянные
- лт4с*. р _ 8яc*m*mPiie ц а л\
Входящий сюда параметр \ie представляет собой среднюю относительную массу звездного вещества, приходящуюся на один электрон. По определению, Iie =—: пе. При полной ионизации эле-
тр
ктронная концентрация определяется очевидной формулой пе =
= —— ^mXiZt : Ait где Xi — относительное содержание элемента
с атомным весом Ai и зарядом ядра Zi. Выделив член, соответствующий водороду, и принимая во внимание, что для других элементов
Zi 1
отношение —j- в среднем составляет ОКОЛО -у, получим пе = =^-(1+*")-
Следовательно,
= TTTh- <7'6'5)
Параметр х в (7,6,2), связывающий электронное давление
Pm тс
большее значение импульса электрона в данной системе. При х < 1 вырождение газа называется нерелятивистским, ав слу-18*
с плотностью вещества, равен отношению , где рмакс — наи 276
Г лава Vit. Строение зве ід
чае л;> 1, когда в газе имеются очень быстрые частицы, обнаруживающие сильные эффекты специальной теории относительности, вырождение является релятивистским. При достаточно больших значениях х первое уравнение (7,6,2) принимает вид ре = 2Ax4. Сравнивая его с формулой для плотности и принимая во внимание значения постоянных (7,6,4), найдем
Уравнение состояния при сильном релятивистском вырождении формально совпадает с законом политропы при п = 3.
Стационарная звезда представляет собой конфигурацию, равновесие которой определяется взаимодействием между гравитацией и давлением. Полное давление внутри звезды находится по формуле р = ре + ра + рп где реи ра — парциальные давления электронов и тяжелых частиц, рг — давление излучения. Для сравнения отдельных слагаемых можно воспользоваться формулой (7,6,6) и очевидными соотношениями ра =nakTt pr =^aT*. Простое вычисление дает > 1 и — > 1. Поэтому с достаточной точностью
Pa Pr
следует положить р = ре.
Вывод о сильном вырождении электронного газа в белых карликах основан на оценках средних плотностей звезд этого класса. Поскольку у внешней границы звезды плотность вещества должна быть малой, следует считать, что наружные слои белых карликов состоят из обычного идеального газа и что вырождение начинается лишь с некоторой глубины. Количественные расчеты показывают, что вследствие большой напряженности силы тяжести плотность вещества белых карликов быстро возрастает с глубиной, и потому переход к вырожденному состоянию происходит на сравнительно небольшом расстоянии от внешней границы звезды. Поэтому наружная невырожденная оболочка, обладающая лишь небольшой долей общей массы звезды, практически не влияет на строение массивного вырожденного ядра.
7. Строение белых карликов. Теория внутреннего строения белых карликов, отвечающая перечисленным особенностям, разработана в 1935 г. Чандрасекаром [61. Математический аппарат ее составляют уравнение механического равновесия и параметрические уравнения состояния электронного газа Ферми (7,6,2).
Непосредственное вычисление дает
І--ЛГ Wf
8Л*4 dx L dr ?
(I+*2)
2 7. Строение белых карликов
277
Следовательно,
1 dp _ SA d о. 2
T4F dr(i^x } '
1
Введя обозначение у = (1 + х2)2, из которого следует
JL —
*? = (у2-1)2; P = W-I)2,
приведем уравнение равновесия (7,1,3) к виду
Как и прежде, примем, что плотность максимальна в центре звезды, а к периферии убывает, стремясь к нулю на внешней границе. В соответствии с этим введенная выше переменная у уменьшается от некоторого наибольшего значения у0 в центре до единицы на поверхности звезды. Заменим переменные
г = {Ц-У Wo4'' У = (7,7Л)
После несложных преобразований приведем предыдущее уравнение к виду
При условиях в центре r\ = 0, ф ==1, = 0 и при заданном
значении у0 это дифференциальное уравнение, называемое уравнением Чандрасекара, однозначно определяет строение белого карлика. Численное интегрирование уравнения выполняется от центра до внешней границы, которой отвечает точка Tj1, соответствующая Ф =yol- В монографии Чандрасекара [31 имеются таблицы, содержащие результаты численного интегрирования уравнения (7,7,2) для десяти различных значений параметра у0.
Пользуясь таблицей для заданного значения у0, легко найти распределение плотности в звезде. При помощи первого из соотношений (7,7,1) вычисляется значение переменной т|, отвечающее принятому расстоянию от центра. Входя с этим значением в таблицу, находим ф, после чего плотность вычисляем по формуле р =
= В (у2 — I)2. Масса конфигурации определяется с помощью 278
Г лава Vit. Строение зве ід
очевидного соотношения
' 1
M = 4я j r2pdr,
где гх — радиус конфигурации.
Перейдя к переменным TJ1 ф, получим
^-jSr (^Г
_3_
-2ч 2
jlY ,
Таблица 4
j ^-уо УцЩ,
о
откуда,
согласно (7,7,2), следует
-2 / </Ф\
уо Пі -I^A
0,00 6,8968 2,0182
0,01 5,3571 1,9321
,02 4,9857 ,8652
,05 ,4601 ,7096
,10 ,0690 ,5186
,20 3,7271 ,2430
,30 ,5803 ,0337
