Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Внешний радиус конфигурации обозначим через rv. Пусть M (г)— масса среды, расположенной внутри сферы радиуса г<.гг. В теории притяжения выводится формула (1,5,4) для потенциала поля во внутренней точке
ф = ИШ +4я Jrpdr.
Г
Дифференцируя это равенство и принимая во внимание очевидное соотношение dM (г) = 4nr2pdr, находим = — ¦ Поэтому вместо (7,1,1) можно написать
? + J^LWP. =0. (7,1,2)
Это основное уравнение равновесия, связывающее давление и плотность в сферической конфигурации. Функция M (г) зависит от распределения плотности и легко исключается. Если уравне-
г2
ние (7,1,2) умножить на —, то после дифференцирования оно примет вид
Ir (ff") + 4^2P = '^7'1'3) 1. Фигуры равновесия тяжелой жидкости
247
Для несжимаемой среды условие равновесия определяет ход гидростатического давления с расстоянием от центра. Решение
2 2
уравнения (7,1,3) в этом случае таково: р = яур2 (п — г1).
Если же среда сжимаема, то задача содержитдве неизвестные функции. Чтобы сделать задачу определенной, необходимо к условию равновесия присоединить независимое уравнение состояния, связывающее давление с плотностью.
Бесконечный прямой цилиндр представляет собой конфигурацию, симметричную относительно оси. Все величины, характеризующие со стояние среды, являются функциями расстояния г от оси цилиндра. Из условия симметрии следует, что в каждой точке напряженность поля гравитации направлена к оси цилиндра и образует с нею прямой угол. Найдем величину этой напряженности.
На рис. 26 точка О — основание перпендикуляра г, опущенного на ось цилиндра из внутренней точки А. На расстоянии z от нее построим кольцо, плоскость которого перпендикулярна к оси цилиндра. Внутренний радиус кольца — q, ширина его — dq, толщина — dz. Элемент кольца, отвечающий приращению d<p азимута <р, имеет массу dm = pqdqdqdz. В точке А напряженность поля, создаваемого этим элементом, равна -^f-, а ее проекция на направление
АО составляет ydm^s а я Из треугольников ABD и BCD находим Д2 = Z2 + q2 + г2 — 2 qr cos <р. Треугольники ADO и CDO вместе с предыдущим равенством да-
(г — О COS ф) ^t
ют cosa = -~—. Поэтому указанная проекция равна
у (г —(7cos ф) dm 0 ja
——дз — . Внося сюда значения dm, А и выполняя интегрирование, получим выражение для напряженности, направленной вдоль линии АО:
2л оо rt
Fr = 2y (' fj з . (7tl>4)
О о о (г2 + q% + г2 — 2qr cos <p) 2 Множитель 2 введен для учета притяжения со стороны части цилиндра, расположенной по другую сторону от точки О.
Рис. 26. 248
Г лава Vit. Строение зве ід
Проинтегрируем по переменной г; имеем
OO
dz 1
і
_з q2 _j_ f2 — 2qr cos ф о (z2 + q2 + r2 — cIqr cos <p) 2
Выполним теперь интегрирование по азимуту. Воспользовавшись преобразованием
2г — 2^7 cos ф = -J- fa2 -J- г2 — 2qr cos ф) + -J- (г2 — ?2), находим
2я 2л
Г 2 (г — q cos ф) rfy __ 2я г2 — ф Г _dqp_
J q2 + г2 — 2qr cos ф ~~ г г J </2 + г2 — 2?r cos ф
о
Интеграл, содержащийся в правой части этого равенства, равен
2л _
± ^2 _^ в зависимости от условии г ^ <7 соответственно.
Таким образом,
2я Ап_
' — q cos ф) dtp _ r ' r
г2 — 2qr cos ф Л .
o -/Y о t г <q*
ZJl
Г 2(г —
Область интегрирования по переменной q разделим на два интервала: 0, г и г, T1. Соотношение (7,1.4) принимает при этом вид
Fr = ^qpdq.
О
Рассмотрим отрезок цилиндра радиуса г, ограниченный попереч^ ными сечениями, расположенными на расстоянии единицы длины
г
друг от друга. Масса этого отрезка равна т (г) = 2я J qpdq. По-
о
этому выражение для искомой напряженности можно написать так:
P _ 2ут(г) Гг г
Внутри бесконечного прямого цилиндра напряженность поля тяготения на расстоянии г от оси определяется массой погонной единицы цилиндра с сечением радиуса г. В точках, расположенных на расстояниях г и г + dr от оси цилиндра, разность давлений составляет dp = — Fr рdr; следовательно,
? +-MlL = O. (7,1,5) 1. Фигуры равновесия тяжелой жидкости
249
Как и в предыдущем случае, условие равновесия связывает ти-дростатическое давление с распределением плотности, от которого зависит функция т (г). В частном случае, когда среда несжимаема, распределение давления в цилиндре отвечает, как легко убедиться, закону р = яур2 (г2\ — г2).
Третьей фигурой равновесия гравитирующей непрерывной среды является бесконечный слой, в котором распределение плотности, гидростатического давления и других характеристик симметрично относительно средней плоскости. Если начало координат поместить в плоскость симметрии и ось Z направить по нормали к этой плоскости, то характеристики среды будут функциями одной координаты г. Напряженность поля направлена по перпендикуляру, опущенному из данной точки на плоскость симметрии. Найдем величину напряженности.
Две плоскости, перпендикулярные оси Z и расположенные на расстоянии dz одна от другой, вырезают бесконечно тонкий однородный слой, на единицу площади которого приходится масса рdz, где р — объемная плотность среды. Согласно известному результату теории притяжения, величина напряженности, обусловленная этим слоем, не зависит от расстояния данной точки от слоя и равна 2пур dz. В точке с координатой z полная напряженность поля определяется массой среды, расположенной по обе стороны от плоскости симметрии до расстояний |z|, поскольку действия областей, расположенных на ббльших расстояниях от плоскости симметрии, взаим-
