Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
_ Mx1 __ уМ2
П =--^----<7.2,5>
(п + rtR
В качестве иллюстрации приведем рассмотренный Эмденом пример адиабатического шара, имеющего массу и радиус Солнца и состоящего из нейтрального водорода (n = 1,5, р, = 1,0). Формулы» (7,2,5) и данные последней строки табл. 2 при л = 1,5 дают
рс = 8,3 г • слГ3; рс = 8,2 • IO9 атм\ Tc= 1,2 • IO7 град.
В предыдущем параграфе мы составили выражение для потенциальной энергии газового шара, обусловленной гравитационным взаимодействием между его элементами. Величина этой энергии, зависит от распределения плотности в шаре. Однако в случае политропного шара для вычисления гравитационной энергии нет необходимости знать распределение плотности в явном виде.
С помощью очевидного соотношения dM (г) = 4яr2pdr перепишем формулу (7,1,10) так:
Гі
о
Выполнив интегрирование по частям, получим
о 256
Г лава Vit. Строение зве ід
При этом принято во внимание, что в случае г 0 величина M (г) стремится к нулю, как г3.
Из условия равновесия следует
ум2 (г) __ M (г) dp г2 — р dr 9
Поэтому
о
Эта формула является бполнє общей и выполняется при любом распределении плотности в равновесной сферической конфигурации.
Приложим ее к политропе. Подстановка р = Cpn дает
После интегрирования по частям получим
(а + 1) с \м (г) Pt і - г djj^P- PTdr\ = - 4я (п + 1) ( r*pdr. Ioo I о
При этом мы вновь воспользовались соотношением dM (г) = = Anr2pdr и приняли во внимание условие р = 0 на внешней границе конфигурации.
Вместо (7,2,6), можно написать
'і
U = r*pdr. (7,2,7)
1 о
При доказательстве теоремы вириала мы представили гравита-
г і
ционную энергию шара в виде U = — 12я j r2pdr, Внеся это соот-
о
ношение в (7,2,7), получим
U-^3Z-
Гравитационная энергия политропного газового шара определяется его массой, радиусом и индексом политропы.
Если при гравитационном сжатии радиус политропного шара изменится от г0 до T1, то убыль его гравитационной энергии
".-"-m-k-h)- 2. Политропные газовые шары
257-
При r0 > T1 вторым членом в правой части равенства можно пренебречь. Поэтому абсолютное значение величины (7,2,8) с достаточной точностью представляет собой гравитационную энергию, освободившуюся к данному моменту при эволюционном сжатии газового шара. Для шара, находящегося в адиабатическом равновесии (гс = 1,5) и имеющего массу и радиус Солнца, эта величина составляет около 3 • IO48 эрг.
Как известно, одной из первых гипотез о природе источников звездной энергии была контракционная гипотеза Гельмгольца — Кельвина, согласно которой излучение звезд поддерживается их гравитационным сжатием. Формула (7,2,8) показывает, что для количественного объяснения наблюдаемых светимостей пришлось бы допустить чрезмерно быстрое гравитационное сжатие. Действительно, с точки зрения контракционной гипотезы, светимость звезды
должна определяться соотношением L = -T^- Коэффициент
пропорциональности введен здесь согласно требованию теоремы вириала. По формуле (7,2,8) имеем
Y M2
1 Clrl
2 (5 -п) rx rx dt • (7'2'9)
Приложим эту формулу к современному состоянию Солнца, принимая для определенности адиабатическое распределение плотности (/* = 1,5).
Светимость Солнца измеряется величиной 1,2 • IO41 эрг в год. Внося это значение в формулу (7,2,9), получим I— ^ 0,8 • 10~7.
I ^ 1 U' I
Соответствующее уменьшение радиуса составляет около 50 м в год. При столь быстром сжатии радиус Солнца за 7 млн. лет должен сократиться вдвое, а эволюция Солнца в прошлом могла бы продолжаться не более 10—12 млн. лет, что в сотни или даже в тысячи раз меньше принятых в настоящее время оценок нижней границы его возраста. По современным представлениям, излучение звезд в продолжении большей части их существования поддерживается термоядерными реакциями, тогда как гравитационное сжатие служит основным источником энергии лишь в течение сравнительно кратковременных стадий звездной эволюции.
3. Условия внутри звезд. Теория Эмдена позволяет вычислить распределение плотности и температуры в газовом шаре, находящемся в гравитационном равновесии. Однако выводы ее применяются очень ограниченно, поскольку она не учитывает физических условий, присущих реальных звездам.
Для развития современных представлений о физических процессах в звездах большое значение имели исследования Эддингтона, результаты которых изложены в его известной книге [21, а также фундаментальная монография Чандрасекара [31.
17 А- Ф. Богородский 258
Г лава Vit. Строение зве ід
Важнейшей особенностью звезды является наличие внутренних источников энергии, которые поддерживают ее излучение. Согласно общепринятому представлению, для большинства известных в настоящее время звезд источником энергии служат термоядерные реакции, сопровождающиеся превращением водорода в гелий. Подробное их изучение показало, что основную роль в звездах играют протон-протонные реакции и углеродный цикл [41.
При взаимодействии двух протонов образуются дейтрон, позитрон и нейтрино. Позитрон, соединяясь с электроном, исчезает, превращаясь в два кванта радиации, а нейтрино свободно выходит наружу и покидает звезду, унося некоторую часть энергии. Образовавшийся дейтрон соединяется с новым протоном, образуя ядро He3 и излучая y-квант. При взаимодействии двух ядер He3 возникает устойчивое ядро гелия He4 и два протона. Вся группа реакций имеет следующий вид:
