Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
4. Уравнения строения звезды. Переходим к составлению общих уравнений внутреннего строения звезды с учетом условий в ее недрах.
Первым из этих уравнений является условие гравитационного равновесия, которое мы будем писать в форме (7,1,2), присоединяя к нему очевидное соотношение dM (г) = 4яг2р dr. Однако, в отличие от теории политропных шаров Эмдена, в которой функция р отождествлялась с газовым давлением, в теории внутреннего строения звезд в общем случае необходимо принимать во внимание не только газовое, но и лучистое давление. Для предварительной оценки его составим отношение величины рг = к
газовому давлению в центре конфигурации. С помощью приближенных соотношений (7,1,9) находим
л" ~ vfij^ в 8,2 ' 10~69 (,ли)* (7Л
Мы видим, что отношение лучистого давления к газовому в центральной части конфигурации определяется молекулярным весом и массой звезды. При заданном молекулярном весе оно возрастает пропорционально квадрату массы. Аналогичная зависимость существует и в политропном шаре, в чем легко убедиться при помощи формул (7,2,5).
Положив в (7,4,1) \i с* 1 и M = A4®, получим ^ 0,03. Это
Pc
показывает, что в звездах, массы которых близки к солнечной, лучистое давление не играет существенной роли. При переходе к ранним спектральным классам, которым присущи более значительные звездные массы, роль лучистого давления должна быстро возрастать.
Однако для надежной количественной оценки величины — соотно-
Pc
шением (7,4,1) в этих случаях пользоваться нельзя, поскольку оно основано на формулах (7,1,9), при выводе которых лучистое давление во внимание не принималось.
Третье уравнение строения звезяы выражает наличие в ней внутренних источников энергии.
Обозначим через L (г) мощность источников, расположенных внутри сферы радиуса г. В стационарной звезде эта величина равна также потоку энергии через указанную сферу, поскольку генерация энергии источниками должна компенсироваться ее переносом к внешним слоям звездного вещества. Приращение dL (г) этой функции 4. Уравнения строения звезды
267
представляет собой мощность источников, находящихся в тонком слое между сферами радиусов г и г + dr. Сохраняя прежнее обозначение, можно написать dL (г) = 4nr2pedr, где е определяется принятой в данной модели гипотезой о природе источников энергии.
Четвертое уравнение зависит от механизма переноса энергии в звезде. Если допустить, что этот перенос осуществляется излучением, то поток Н(г) энергии через единичную площадку, расположенную перпендикулярно к радиальному направлению и помещенную на расстоянии г от центра звезды, равен, как мы видели, величине (7,3,7). Внося ее в очевидное соотношение L (г) = Anr2H (г), по-
где а — росселандово среднее коэффициента непрерывного поглощения.
Таким образом, для звезды, находящейся в лучистом равновесии, мы имеем систему четырех дифференциальных уравнений:
К этим уравнениям необходимо присоединить соотношение для гидростатического давления, а также формулы, выражающие физическую природу источников энергии и механизм непрозрачности звездного вещества.
P == рТ + -J- аТ*; е-е (р, Ty Xi); a = а (р, T1 Xi). (7,4,3)
Принимая химический состав одинаковым во всех слоях звезды, следует считать, что величины Xit характеризующие относительное обилие различных элементов, играют роль постоянных параметров.
Функции е и а должны быть выбраны в виде (7,3,1) или (7,3,2), а также в соответствии с законами непрерывного поглощения (7,3,11), (7,3,12) или (7,3,13) в зависимости от типа изучаемой звезды и ее химического состава.
Если равенства (7,4,3) внести в (7,4,2), то получится довольно сложная система четырех дифференциальных уравнений первого порядка относительно функций р (г), T (г), M(r), L (г). Ее решение в общем виде оказывается невозможным, и потому приходится прибегнуть к численному интегрированию. Решение системы должно отвечать условиям: 1) в центре звезды
лучим
dT dr
3 g L (г) I?jiac гЧ* '
(7,4,2)
г = 0, M (г) = О, L (г) = 0;
(7,4,4) 268
Г лава Vit. Строение зве ід
2) на внешней границе
г = rlf р = 0, T = O*,
M (г) = Mt L (г) = L, (7,4,5)
в которых через TltMtL обозначены радиус, масса и светимость звезды соответственно.
Поскольку однозначное решение уравнений (7,4,2), составляющих систему четвертого порядка, определяется четырьмя условиями, а число условий (7,4,4), (7,4,5) равно шести, следует ожидать, что между тремя основными параметрами звезды — радиусом, массой и светимостью существуют два независимых соотношения. Рассмотрим этот вопрос подробнее.
Уравнения строения звезды имеют в общем случае четыре интеграла, содержащие четыре произвольные постоянные; их можно написать так:
Fi [г, р (г), T (г), M (r), L (г); *н, *He; C1, ..., C4] = 0. (7,4,6)
Из всех величин Xit характеризующих химический состав звездного вещества, мы включили сюда лишь хн и хНе, оставляя их значения неопределенными. В случае углеродного цикла в выражение функции е (р, Г), согласно (7,3,2), входит также *cn; однако этой величине мы можем приписать, как это обыкновенно делают, конкретное числовое значение.
