Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
C Cv
В частном случае, когда состояние газа изменяется при dQ = O9 т. е. без теплового обмена с окружающей средой, показатель степени равен отношению удельных теплоемкостей: политропа совпадает с адиабатой.
Теория строения политропных шаров развита в 1907 г. Эмде-ном [11. Математический аппарат ее сохраняет некоторое значение и в современной теории внутреннего строения звезд.
-І+1
Напишем закон политропы в виде р = С р п , где п — постоянный параметр, называемый индексом политропы. Исключив гидродинамическое давление, приведем уравнение равновесия (7,1,3) 2. Политропные газовые шары
253-
к следующему виду:
-L J_
+ 4jtV р==о
dr* ^ г dr ^ С (n + 1) Р и'
или, если положить р = Un и ввести обозначение а2 = ^ ,
TF+-T TF + «2«"=0- (7.2.1)
Это основное уравнение строения равновесного политропного шара, называемое уравнением Эмдена. При его интегрировании принимается, что в центре конфигурации функция и имеет максимум: при г = 0; и = и0; ^ = Внешняя граница конфигурации
отвечает условию и = 0.
В элементарных функциях уравнение Эмдена интегрируется при трех значениях индекса n = 0,1,5. В первом случае решением, удовлетворяющим указанным условиям в центре, является функ-
1 оогт і UnSinar
ция и = и0 — -g- а2г2. При /г = 1 решение таково: а = 0 ^— .
-L
Если же n = 5,то решением служит функция « = «0 ^l + ~ a2wjr2j 2.
В последнем случае величина и принимает нулевое значение только при г ->- сю, показывая, что шар имеет бесконечно большие размеры, хотя масса его остается конечной. В случае п > 5 не только размеры, но и массы политропных шаров оказываются бесконечно большими. Нетрудно убедиться в том, что значения п < 0 также не представляют интереса. Действительно, комбинируя закон
политропы и уравнение Клапейрона, получим равенство RT = р,Ср n , показывающее, что при отрицательном индексе политропы с возрастанием плотности температура вещества падает. Основной интерес представляет, таким образом, случай 0 < п < 5.
Уравнение Эмдена для различных л, отличных от трех упомянутых значений, решается численным интегрированием.
Предварительно уравнение (7,2,1) с помощью преобразований
/1-і
и = иоУ'> aao2 г = * (7,2,2)
приводится к виду
?+4-4+*¦-«• с*»
Условия в центре переходят при этом в следующие: X = O, # = 1, -JJ = 0, а внешняя граница конфигурации отвечает значениям х = = X11 у = 0. 254
Г лава Vit. Строение зве ід
В книге Эмдена имеются таблицы и графики, содержащие результаты численного интегрирования (7,2,3) для двенадцати значений лолитропного индекса. Приводим таблицы для п = 1,5 и 3,0 (табл. 2).
Таблица 2
0
0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2.25 2,50 2,75 2,8085 3,00 3,25 3,50 3,625 3,64 3,6571
я = 1.5
1
0,98966 0,95911 0,91008 0,84516 0,76761 0,68132 0,58994 0,49670 0,40477 0,31678 0,23468 0,21617 0,15972 0,09258 0,03335 0,00659 0,00350 0
—у 0
0,08268 0,16057 0,22988 0,28727 0,33061 0,35752 0,37168 0,37209 0,36119 0,34120 0,31475 0,30788 0,28442 0,25261 0,22147 0,20680 0,20511 0,20316
0
0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,1620 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 6,00 6,80 6,9011
:3.0
1
0,98975 0,95987 0,91355 0,85505 0,78897 0,71948 0,64996 0,58282 0,54133 0,46109 0,35921 0,27629 0,20942 0,15529 0,11110 0,04411 0,00471 0
О
0,08204 0,15495 0,21270 0,25219 0,27370 0,27993 0,27460 0,26149 0,25052 0,22396 0,18393 0,14859 0,11998 0,09748 0,08003 0,05599 0,04360 0,04231
Покажем, каким образом, пользуясь решением уравнения Эмдена для данного индекса, можно найти распределение плотности^ давления и температуры в газовом шаре.
Преобразуем левую часть уравнений равновесия
1 dp __ _ у M (г) р dr ~~ г2
с помощью закона политропы и введем переменные, согласно ^7,2,2). Полученное таким образом равенство
п±I ,
4л 2 dy M (г)
а также второе из соотношений (7,2,2) приложим к внешней границе конфигурации. Система уравнений
п-и я-г-1
4я 2 /du \ M 2 /т л „V
~ и° (ж) I = - Tf; Гі = (7'2 4)
позволяет вычислить постоянные а и W0, если при известном индексе политропы задать массу и радиус шара.
Нетрудно найти теперь распределение плотности и давления. 2. Политропные газовые шары
255-
Для выбранного г вычисляется переменная х по первой из формул (7,2,2), затем находится соответствующее табличное значение-у, что дает возможность вычислить плотность р = (u0y)n. Давление легко получить с помощью закона политропы, определив входящую-
в этот закон постоянную С = аа і) - Для вычисления хода температуры следует воспользоваться уравнением Клапейрона, найдя? предварительно молекулярный вес в зависимости от приняюго химического состава.
Итак, полное решение задачи о внутреннем строении политроп-ного шара определенного индекса требует задания радиуса и массы конфигурации и молекулярного веса ее вещества.
Составим общие формулы, характеризующие условия в центре политропного шара.
Найдя постоянные a, U0 из уравнении (7,2,4), нетрудно убедиться в том, что при г = 0 плотность, давление и температура определяются соотношениями
