Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
T11 = QXf2] T12 = piy; T13 = 0; T14 = р*';
7*22 = P У'2\ Тг з = 0; T24 = р/; (5>
T33 = 0; T34 = 0; Tu = P-
Инвариант этого тензора T = — р*'2 — ру'2 + р.
Чтобы воспользоваться решением (5,16,1), необходимо вычислить интегралы
J-^prfr, J-i-pjftfr, J-jrpy'dx\ §-±rpx'2dx; p-L9y'2dx.
(5,16,3)
Введем сферические координаты ф элемента объема dx, рас* положенного внутри шара. Пусть далее r, O0, <р0 — сферические координаты внешней точки M (рис. 14).
Составляющие скорости элемента dx
х' = — а(д sin d sin -ф; у' = аю sin 0 cos ф.
Выразим их через 0 и угол -ф, образованный плоскостями zr и аг (рис. 15). С этой целью воспользуемся соотношениями
sin 0 sin ф = sin d sin ф0 cos а — sin d cos ф0 sin а;
sin -0 cos ф = sin d cos фо cos а + sin ¦& sin ф0 sin а, которые непосредственно вытекают из условия ф = ф0 — а. 16. Внешнее решение для однородного вращающегося шара
183
В сферическом треугольнике агг имеем
sin О sin а = sin 0 sin t|r,
sin § cos а = sin O0 cos 8 — cos O0 sin 0 cos
Внося эти значения в предыдущие формулы, получим после очевидных преобразований
X' = асо (cos O0 sin фо sin 0 cos \|) + cos <p0 sin 0 sin \[>—sin O0 sin cp0 cos 0);
(5,16,4)
y' = аш (sin O0 COS ф0 cos 0 + sin ф0 sin 0 sin \[>—cos O0 COS ф0 sin 0 cos -ф).
Z
rM
Рис. 15.
Переходим к вычислению интегралов (5,16,3). В переменных а, 0, ^ элемент объема dx = a2 sin QdQd^pda, Поэтому первый интеграл
R 2л п
I _ р Г Г Г A2 Sin QdQdypda___т
1 J J J (а2 4-г2 — !
ООО
(a2 + /-2 — 2arcos8)*/«
где т — выраженная в релятивистских единицах масса шара. Второй интеграл имеет вид
R 2п л
It = сор \ I* ^ (cos O0 sin ф0 sin 0 cos cos ф0 sin 0 sin "ф —
ООО
-- sin O0 sin ф0 cos 0) sin QdQdyda =
R я
= — 2 люр sin O0 sin ф0 J a3 J -і- sin 0 cos 0rf0rfa. 184
Г лава V. Общая теория относительности
Выполнив интегрирование, получим
/, = _-*-<»«/?»-?-.
Подобным же образом находится третий интеграл
Четвертый интеграл
r 2л л
/4 = ш2р J J J "7Г (cos ф0 sin ф0 sin 0 COSl|) -f- COS Ф0 sin 0 sin -ф —
ООО
— sin d0 sin фо cos 0)2 sin QdQdyda
требует более продолжительных преобразований. Выполнив их, найдем
/ _ m^ /i ^a а 5r [l ~ Jr^i-
Последний из перечисленных интегралов, аналогичный предыдущему, равен
, (л W , SR2X2 \
7* - Sr \1 W + •
Применяя решение (5,16,1) к трем первым диагональным элементам, которые мы условились определить лишь с точностью до величин первого порядка, имеем Zi11 = Zi22 = Zi33 = — 2I1. Смешанные элементы вида кн находятся по формулам /iu = — 4J29 км = = — 4J8. Последний элемент, согласно (5,16,1), равен Zi44 = — 2I1 — — 2/4 — 2/6, Напомним, что эту величину требуется найти с точностью до члена второго порядка относительно потенциала, для чего решение (5,16,1) недостаточно. Однако нет необходимости составлять уравнения поля с сохранением членов второго порядка относительно величин кц; для введения указанной поправки в Zi44 можно воспользоваться полученным выше решением уравнений поля для системы точечных масс.
С принятой точностью внешнее решение уравнений поля для однородного вращающегося шара определяется формулами
Ki = ft22 = Азз = A14 = J- m(x>R2 ^r ;
h 4 У . U 2/71 2 Ztt2
«24=--5~ m^R ; "44 =--— + ~7з—
--ВТ-12 + -W - • (5' 16'5> 17. Поле тяжести в ОТО
185
17. Поле тяжести в ОТО, В механике Ньютона полем тяжести называют однородное гравитационное поле, обладающее во всех точках одинаковым градиентом потенциала. Свободная магериаль-ная точка при соответствующем выборе координат движется в таком поле по закону
d?x d?y л< (Pz 17 п
-^2- = -^2- = 0; = (5,17,1)
где g — постоянное ускорение, являющееся основной характеристикой поля.
В -механике Ньютон^ постоянное поле тяжести можно осуществить двумя различными способами. Один из них состоит во введении системы координат, дви- Z
жущейся с постоянным ускорением относительно инерциальной системы отсчета. Свободная частица, отнесенная к таким координатам, движется по закону
(5.1Z.1).
Во втором способе поле тяжести является полем гравитации бесконечной материальной плоскости С ПОСТОЯННОЙ ПО- Ptl0t i?. верхностной плотностью.
Рассмотрим бесконечно тонкое материальное кольцо радиуса г и ширины dr. Элемент кольца обладает массой ardrdy и создает в точке M напряженность, направленную вдоль линии MA:
yordrdq> г2+ г2 '
где о — поверхностная плотность. Умножая это выражение на
отношение--—р , найдем величину составляющей напряжен-
(г2 + г2)2
ности в направлении МО. Поэтому напряженность, обусловленная 2 nyorzdr
кольцом, равна ^ ^u •
Выполнив интегрирование, получим
OO
s -2llTg' і +V =2"Y<T- 186
Г лава V. Общая теория относительности
Это показывает, что материальная плоскость с поверхностной плотностью а = создает однородное поле с заданным ускорением g.
Естественно спросить, можно ли сохранить понятие однородного поля тяжести в ОТО.
Будем искать решение уравнений поля Эйнштейна в форме
ds2 = — Adx2 — Bdy2 — Cdz2 + Ddt2j (5,17,2)
