Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
и в первом приближении равна расстоянию между элементом объема dx', помещенным в точке х\ у\ Zf9 и точкой Xt у, г, для которой ищутся значения А// в момент времени /. Разность t — г' (в системе CGS она равна t — , где с — скорость света) показывает, что Tli на метрический тензор влияет с запаздыванием, равным времени распространения света на расстояние г'. При этом для T1 с квадратической зависимостью от скоростей запаздыванием можно пренебречь, так как в выражении Ъц учет запаздывания не изменит членов ІЗ. Определение величин H1J
173
уравнения до второго порядка включительно. В величинах Ti4 (i = 1,... 4) запаздыванием пренебречь нельзя. Положив в (5,13,1) 1 = /=1, ... 4, получим
An + 4- Л = - 4 2 mrfU- A22 + 4- Л = - 4 S т JJjJJi A33 + -у"ft ^ — 42mfVJA44 —^ph =
где через OTj (/ — г') обозначено a's, в котором as, 6S, с$ взяты для момента t — г'.
Комбинируя эти равенства, имеем
A= 4 2 ms J*^r a (/- г') Л' - 4 2 "^s.
где принято t>s = CL2S + Ь1 + Cj. Следовательно,
A11 - - 2 2 J< (/ - Ґ) dx'' + 2 2 ^S W - 2а!) ?/,;
A22 = — 2 2 m,U- < (/ - г') А' + 2 2 т,(о5 - 2Й)1/,;
(5,13,2)
^3 = -22^1^- а (t-ґ) dx1 + 22 mta-btiV*
A44 = - 2 2 J -і- а (/ - ґ) dx' - 2 2 Л
Для дальнейшего удобно преобразовать интеграл, входящий в написанные формулы.
Введем новые переменные и, V1 W при помощи соотношений
x'-as{t-r') = u; y>-bs{t-r') = v\ *-cs(t-n = w.
В этих переменных функция а'$ (t — г') имеет вид а(|/rU2+ V2 + W2t X). Якобиан преобразования представляет собой определитель, обратный определителю
ди ди dw
дх' дх' дх'
ди dv dw
ду' ду' W
ди dv dw
dz' дг' dz' 174
Г лава V. Общая теория относительности
Вычисление дает для якобиана выражение
's-V + de dx' + dQ dt/' ^ dQ dz'J > Ur' которое при U = U = W*= 0 приводится к величине
где rs определяется соотношением
г2 = Ijc - (Є)]2 + Iу-bs (0)12 + [2 - c5 (0)]2; Є = t - rr (5,13,3)
В результате указанного преобразования интеграл, содержащийся fc (5,13,2), принимает вид
Ш ^r а ^U% + V% + Х) 1Sdudvdw
и при достаточно большом X может быть заменен следующим:
^-(1 + "ST'ШоіУ»2 + *2+ w*> dudvdw.
Если снова заменить переменные
и = a sin ф cos ф; v = a sin ф sin ф; w = a cos ф и выполнить интегрирование по ? и ф, то получится
+-Sf1Je^ ^a2da-
или, согласно определению функции а,
?(>+* г'
Таким образом, при А, оо имеем
Ли = - 2 2 f (1 + -?-)" + 2 2 - 2OJ);
й» = - 2 2 f - (:» + +22^-(?2- 2^); ^ = -2 2 (1 + -Й-)"' + 2 2-^("?-2с');
« (5,13,4)
В первых членах правых частей этих равенств величина rs определяется соотношением (5,13,3) с учетом запаздывания. Во вто- ІЗ. Определение величин H1J
175
рых членах, пренебрегая запаздыванием, можно принять
гі = [X - as (/)]2 + [у - Ъъ (О)2 + [г- сМг• (5< 13,5)
Остается определить кц с различными индексами. Положив в (5,13,1) і = 1, / =± 4, найдем
К = 4 2 ™ J 7г а (/ - Ґ) ds (t - г') dx'.
Еслй преобразовать переменные как прежде и положить затем А, ->¦ оо, то получится
5..-12^(1 + ?" <6-'ЗД
Мы не приводим здесь формулы для A24 и A34; их легко написать по аналогии.
Допустим, что индексы і, j различны и отличаются от четырех. Принимая і = 1,/ = 2, найдем Л12 = —4
или, после перехода к пределу при Я оо,
= (5,13,7)
где rs определяется формулой (5,13,5).
Аналогичные выражения можно написать для величин A23 и A31.
Полезно преобразовать найденные значения А//, исключив из них г4, определяемые с учетом запаздывания соотношениями (5,133), и введя величины, отвечающие положениям материальных точек в данный момент времени, согласно (5,13,5). Выполним разложение
1 м ,<МЄ)\-і 1 f| ,/are\« rs д*г5\
Wl1 =TTl1 +
Выражения для диагональных элементов примут следующий вид:
Ї..—2 2I > + (#-)'+-9-jS-I+2 2 -¦2 2-?-{• + (-?-)'+ -9--?-)+*2-=ч«-а»;
(5,13,8)
_ - 22 JL {1 + (?-)" + -?--? + 2 2 -а.И - 2? 176
Г лава V. Общая теория относительности
Величина Л, как легко убедиться, такова:
+(¦*?+*-*}-« 2-=*- (5.13.9,
Остальные элементы с точностью До членов второго порядка включительно определяются формулами вида
Ku-42^; A12 = -42^- (5,13,10)
'S A rS
14. Определение величин А?//. Для завершения интегрирования уравнений поля необходимо найти поправки кц, удовлетворяющие системе уравнений, составленной в п. 12.
Рассмотрим прежде всего три уравнения вида (5,12,16), содержащие kiA. Воспользовавшись значениями (5,13,8)^-(5,13,10), легко убедиться в том, что в нашем приближении эти уравнения сводятся к соотношениям
-"..+ -I-(-1^ + ?- + ?-)-° «т. д.
Поскольку указанных поправок в других уравнениях нет, можно положить ku = ^24 = ?34 в 0. Примем далее A12 = k23 = k31 = 0 и покажем, что остальные уравйения можно удовлетворить с ПОМОЩЬЮ четырех величин kit.
Найденное ранее решение (5,13,2) позволяет переписать уравнение (5,12,13) следующим образом:
-Цг <*.¦- +жР» - *«>+4 2 (—+ + M^ + " 4(?/-»-g- +«<*-«* -
— 32яр U = — 16 TtS1K (5,14,1)
Вместо (5,12,14) имеем теперь
"^JT (^22 + ^ss) "Ь "JtyT (^33 "Ь ^ll) "Ь (^ll "Ь ^22) +
