Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Богородский А.Ф. -> "Всемирное тяготение" -> 56

Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.

Богородский А.Ф. Всемирное тяготение — К.: Наук. думка, 1971. — 354 c.
Скачать (прямая ссылка): vsemirnoetyagotenie1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 125 >> Следующая


равен —, где т = Следовательно,

T с

-4(1 +-f-)—г+ const.

откуда С = — 2т.

Окончательно можно написать

^ = (1 -^-)-', (5,8,5)

Таким образом, квадратическая форма

ds2 = - (1 — у1 dr2 — Affi1 - г2 sin2 Gdqj2 + (1 — dt2

(5,8,6)

представляет собой решение уравнений поля, отвечающее всем поставленным условиям; оно называется внешним решением Шварцшильда.

Отметим, что в соответствии с принятым условием соотношение (5,8,6) при Г OO стремится к линейному элементу СТО, который в сферических координатах имеет вид (5,8,2). При этом переменная г имеет нижнюю границу 2 /л, поскольку при меньших значениях квадратическая форма (5,8,6) изменяет сигнатуру. Эта граница называется гравитационной сферой тела. В системе CGS гравитационный радиус равен

г,--(5.8,7)

Для солнца rg = 2,9 • IO5 см. Для известных в настоящее время небесных тел понятие гравитационной сферы имеет лишь формальное значение, поскольку линейные размеры тел в огромное число 156

Г лава V. Общая теория относительности

раз превосходят их гравитационные радиусы, вычисленные по формуле (5,8,7).

Обобщенные уравнения поля (5,5,17), дополненные космологическим членом, для пустого пространства имеют вид

Rii--^giiR+Agii = Q.

Умножая эти уравнения Hag^ и выполняя свертывание, находим соотношение между инвариантом тензора Риччи и космологической постоянной R = 4Л. Поэтому уравнения можно написать в форме

Ril = Л glh (5,8,8)

Сохраняя условие сферической симметрии и пользуясь полученными значениями компонент тензора Риччи, имеем, вместо (5,8,4), следующую систему уравнений:

2 4 ' 4 г »

е-«

1 + ' (?'-a')|-l = -Ar2;

-t + iJl-^-il-ЛЛ (5.8,9)

Решением этой системы, как нетрудно убедиться, являются функции

eH1 +-T1-TaV' 4-АГ2).

Вследствие малости космологической постоянной членЛ г2

при не очень больших г должен быть весьма мал, и поэтому полученное решение должно совпадать с (5,8,5). Поэтому следует положить С = 1, С = — 2т. Таким образом,

= —2^---Лг2 j""1; * = 1 - (5,8,10)

Обобщенная квадратическая форма Шварцшильда имеет вид

ds2 = - (1 - — Ar2^1 dr2 - rW -

— г2 Sin2 8Жр2 + [ 1 - --i. Ar2^j dl\ (5,8,11)

В отличие от (5,8,6) решение (5,8,11) применимо к значениям переменной г, ограниченным не только нижней (rg ^ 2т), но также верхней границей. С точностью до величины порядка т последняя

равна j/зд-1. 9. Внутреннее решение Шварцшильда

157

Отметим также, что обобщенное решение Шварцшильда в отсутствие центрального тела не переходит в квадратическую ({юрму СТО: при т = О геометрия пространственно-временного континуума остается римановой.

9. Внутреннее решение Шварцшильда. Для приложений ОТО представляет также интерес внутреннее решение Шварцшильда [181, характеризующее поле гравитации внутри тела со сферическим распределением массы. Особенно большое значение это решение приобрело в связи с развитием теории внутреннего строения сверхплотных звезд, к которым закон тяготения Ньютона неприменим.

Рассмотрим прежде всего случай, когда сферическая конфигурация состоит из несжимаемой жидкости с постоянной собственной плотностью рис давлением р, зависящим от расстояния до центра сферы.

Согласно (5,4,4), ковариантные компоненты тензора энергии-импульса определяются формулами

Тц = (р + р) j^r -^Г Sougfii — Рёц-

Поскольку макроскопических движений в веществе нет и квадратическая фіорма, удовлетворяющая условию сферической симметрии, имеет вид (5,8,3), отличными от нуля являются лишь диагональные компоненты этого тензора

Tii^(9 + P)[d^ Sfi-PSi^

дх*

Четырехмерная скорость -^-сводится к последней составляющей,

дх1

которая находится из квадратической формы при = 0, і = 1,2, 3; эта составляющая равна — = . Следовательно,

Tii=Zpea, pr2t Jor2Sin2 6, pe?.

Скаляр тензора энергии-импульса вычисляется по формуле Г = = = р - 3р.

Составим уравнения поля в форме (5,5,16). С этой целью воспользуемся компонентами тензора Риччи, вычисленными в предыдущем параграфе применительно к линейному элементу (5,8,3). Выполняя соответствующие подстановки, получим систему трех уравнений

?" a'?' , ?'2 a' . ч

-?---4-+4---г=-4яеа(р-р);

ТГ + -®-2Г--7г = 4яеа(р-р); 158

Г лава V. Общая теория относительности

Jf-^ + .tL + f.^ + rt.

Уравнения, отвечающие і = / = 2 и і = / = 3, совпадают. Эту систему удобнее представить в несколько иной форме. Сложив первое уравнение с третьим, получим

Вычитание тех же уравнений дает

Комбинируя это соотношение со вторым уравнением системы, находим

1 , P' о w* 1 , <*' , 6а о _

TT + 7---^r = Snpea] __+_+_==8яре*

Таким образом, систему уравнения поля можно написать следующим образом:

8 ир = ^-^ + ^-^); 8 + (5,9,1)

=«-'CT+ TT-

Отметим, что условие несжимаемости до сих пор не учитывалось и потому полученная система уравнений применима также к конфигурации, состоящей из сжимаемой среды.

В случае р = const, рассмотренном в упомянутой работе Шварц-шильда, интегрирование системы (5,9,1) не вызывает затруднений. Последнее уравнение после умножения на г2 принимает вид 8ярг2 = = (г — ге~аУ и дает
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed