Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
+ 4 2 fe-S- + bs-Itr + ^sr) + 6 (grad = 32ltPy-
(5,14,2)
Уравнение (5,12,15) принимает вид
^ - ^ - 4 2 «Д;, + <>, -
Л/ dt/ on W ІЗ. Определение величин H1J
177
Легко видеть, что решения трех уравнений последнего типа удовлетворяют уравнениям вида (5,14,1) и (5,14,2). Действительно, из (5,14,3) следует
-4 2 m5 (aj Usdx + bs j Usdy). (5,14,4)
Составив аналогично выражение для k22 — &44, образуем сумму
д2 д2
(^33 ^44) "Ь (^22 ^44)
и внесем ее в (5,14,1). После необходимых преобразований с учетом уравнений Пуассона для функций Us, U получим
S11 = 2 mJ ("Sr — dx•
т. е. значение поправки тензора энергии-импульса, найденное ранее в согласии с законом сохранения этого тензора. Подобным же образом убеждаемся в выполнимости двух других уравнений типа (5,14,1).
С помощью соотношений вида (5,14,4) выразим ?32, kbZ через k44 и составим сумму
д2 д2 д2
22 + ^зз) + "фГ (&33 + ^ii) + (^ii + ^22)-
Внеся ее в (5,14,2) и выполнив необходимые упрощения, получим уравнение
4 - 2W) = 8л ?"і, {J О, (^r- a,) +
которое служит для определения k44.
При достаточно большом К это уравнение можно написать так:
4 (ku - 2(7=) - 8* % т, {[(? —%] J VJtx +
,,и,,
Решение его по методу Пуассона содержит интегралы вида
ЯШ a^w-
взятые по всему пространству. Они расходятся, показывая, что при произвольных as, &s, cs уравнения поля не имеюі решения. Для существования решения необходимо, чтобы коэффициенты при инте-
12 А- Ф. Бо. ородский 178
Г лава V. Общая теория относительности
гралах в (5,14,5) тождественно исчезали, т. е. чтобы движение точечных масс происходило по закону Ньютона
-.-(jSrb Нт); <s^6>
Этот вывод имеет в ОТО фундаментальное значение. Если ньютоново уравнение поля гравитации, т. е. уравнение Пуассона, допускает решение при любом распределении масс, в частности при произвольных движениях тел, создающих поле, то уравнения поля ОТО имеют решение только при определенном движении этих тел. Закон движения в ОТО можно, таким образом, рассматривать как условие интегрируемости уравнений поля.
Закон Ньютона (5,14,6) получен как условие разрешимости уравнений поля во втором приближении. Интегрирование этих уравнений в более высоких приближениях позволяет уточнить закон движения, найдя соответствующие релятивистские поправки к его ньютоновой форме.
Принципиальная возможность объединения закона движения с уравнениями поля впервые рассматривалась в 1927 г. в работе Эйнштейна и Громмера [201 и в последующей статье Эйнштейна [211. Однако определенное решение вопроса было получено только в 1938 г. в обширном исследовании Эйнштейна, Инфельда и Гофмана [221, в котором выполнено приближенное интегрирование уравнений поля для системы точечных масс. В результате весьма сложных вычислений было показано, что требование разрешимости уравнений поля в достаточно высоком приближении определяет закон движения точечных масс в виде уравнений Ньютона с релятивистскими поправками.
Почти одновременно В. А. Фоком уравнения поля ОТО были применены к системе тел, имеющих конечные плотности и протяженности [231. В этой работе интегрирование выполнено с точностью до членов второго порядка, и в качестве необходимого условия разрешимости уравнений поля получен закон (5,14,6). Этот результат впоследствии был подтвержден другими исследователями. Изложенный в последних параграфах метод принадлежит автору [241.
Возвращаемся к определению величин kq. Уравнение (5,13,5) при условии (5,13,6) принимает вид Д(k44 — 2І/2) = 0 и допускает решение &44 — 2U2 = const. Поскольку на бесконечности поправка ?44 должна исчезать, находим
= (5.14,7)
Теперь мы имеем возможность завершить интегрирование уравнений поля в принятом приближении. Поправки kllt k22t kzz определяются при помощи соотношений вида (5,14,4), после чего полные значения компонент метрического тензора находятся по формулам ІЗ. Определение величин H1J
179
git = б// + ft// + fc/. Так, для последней компоненты этого тензора можно написать
-1 (' + +2 (2?'-
-2 2?^. (ММ)
или, если во всех членах перейти к обозначению (5,13,5),
+2Hj^)'-2Ij^- <6-,4'9>
Легко составить также выражения для остальных компонент метрического тензора.
15. Скорость передачи гравитации. В первом приближении скорость распространения гравитации в ОТО определяется рассмотренным выше решением Эйнштейна (5,13,1), позволяющим найти метрический тензор путем интегрирования тензора энергии-импульса. При вычислении системы поправок ft// в точке х9 у, г в момент времени t необходимо, как сказано, в каждой точке х\ у\ z', находящейся на расстоянии ґ от заданной точки, принять значения компонент тензора энергии-импульса для более раннего момента t — ґ
{в системе CGS для момента t —> т— j. Это значит, что тензор энергии-
импульса определяет метрику пространства-времени с некоторым запаздыванием, равным времени распространения света. Таким образом, вместо гравитационного дальнодействия, присущего теории Ньютона, в ОТО в данном приближении содержится принцип конечной скорости гравитации, равной скорости света.
