Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
где А, Br С, D — положительные функции координаты z.
Составим выражения для компонент тензора Риччи.
В случае квадратической формы (5,17,2) отличными от нуля являются следующие символы Кристофеля:
рз А' ш рз В' рз С рз D' .
Аі1 = """2С» А22=--2С~' 33 ~2С~' " ~2С 1
Г1 Л' р2 В' р4 D' ~2Л~' 123 = ~2В~ ; 143 = "2D"'
Входящая в выражение тензора Риччи сумма Г^ при і = 3 определяется, как легко убедиться, формулой
га Л' В' С' D'
ІЗа~ 2Л 2В 2С 2D •
При других значениях индекса і эта сумма тождественно равна нулю.
С помощью написанных соотношений находим диагональные компоненты тензора Риччи
о _ А* . А' ( A' Bt Cf Df) - ~2С Icv- ~А~ + ~В с" + ~7Г / •
р__B^, В' [ А'___B^__Ct Dt \ л
- 2С + 4С \ А В С + D )'
1 / Л* В* D* \ 1 / А'2 В'2 D'2 \
Кзз"ти + "в"+ ~d"/ — т [~~ж~ + в* + D2;—
__1_ / AfCf BtCt CtDt \ .
4 \ ЛС + ВС + CD ) ;
_ _ _ / Л' JT___C^ D' \
^44 "" 2С 4С I Л + В С D / в
Остальные компоненты этого тензора тождественно исчезают.
Система уравнений поля сводится в рассматриваемом случае к четырем уравнениям вида Ru = 0. Уравнение R33 = 0 значительно упрощается, если внести в него производные Л", Bn9 D" из трех других уравнений. Кроме того, ввиду равноправности осей Xf у, ориентированных перпендикулярно ПОЛЮ, можно положить A = B. 17. Поле тяжести в ОТО
187
Выполнив необходимые преобразования, получим систему трех дифференциальных уравнений
4(4 +T)-0- <5^3>
Согласно последнему уравнению, здесь возможны случаи А' =
Л A9 , 20' л
= 0 и X + —= 0-
В перюм из них можно принять A = 1, так как функции Л, С, D находятся с точностью до постоянных множителей, поскольку последние с помощью соответствующих преобразований масштабов приводятся к единицам. Второе уравнение системы принимает следующий вид:
1 CfDf , J_ D'* e 0
2 CD 1 2 Da
и дает С = tfD"~lD'2, где а — постоянная интегрирования, которую мы оставим пока неопределенной.
Во втором случае можно положить А = ET2. Два первые уравнения системы'приводятся при этом к одному
(-?-)'
1 CtDt 3 D'2 ^Jj
2 CD 2 Da
и дают С = &D~SD'2, где Ь — новая постоянная, значение которой будет выбрано позднее.
Итак, система уравнений поля (5,17,3) имеет два решения:
A= 1, C^aD-lD'2; (5,17,4)
А = D-2; С = 6D~5D'2. (5,17,5)
Функция D может быть задана независимо, поскольку два первых уравнения системы (5,17,3) сводятся к одному. Выбор следует выполнить так, чтобы в первом приближении обеспечить переход к закону движения (5,17,1).
Свободное движение частицы определяется принципом четырехмерной геодезической линии. Рассматривая пространственныекоор- 188
Г лава V. Общая теория относительности
динаты х? в функции времени х4 -- /, уравнения этой линии, согласно (4,7,6), можно написать в виде
d*xG [га р4 dx° \ dxa dx? Л -Jjff- + [і a? — I a? J -jj- -fi- = 0.
Используя приведенные значения символов Кристофеля, при а=1 получим уравнение
d?x ( Af _ Df \ dx__dz_ __ n
dP + \ A D } dt dt *" U' dx
интеграл которого = CA~ D показывает, что при свободном падении, когда в начальный момент скорость частицы равнялась нулю, должно быть вообще X = const. Такой же особенностью обладает движение в направлении оси у.
Положим а = 3 и допустим, что указанное начальное условие выполнено. Движение вдоль поля определяется в этом случае уравнением
+ JLY + -BLsss0
Л* ^ . 2С D ) \ dt ) ' 2С
В ньютоновом приближении член,.зависящий от скорости, должен быть опущен. Поэтому для перехода к закону падения Галилея (5,17,1) ,необходимо принять условие U = 2gC9 которым и определяется функция D.
Принимая для постоянных интегрирования а, Ь значениеg2,
__ і
найдем D = ё*2 и D = (1 — 8gz) 4, соответственно (5,17,4) и (5,17,5).
При таком выборе функции D решения уравнений поля имеют вид
А = 1; С = e2gz\ D = (5,17,6)
__5_ __i_
A=(l-8gz)2; С = (1 — 8gz) 4; D = (I-Sgz) 4. (5,17,7)
Эти решения являются, по-видимому, простейшими релятивистскими обобщениями понятия однородного поля тяжести механики Ньютона.
Напомним, что в этих формулах используются релятивистские единицы измерений. Если от этих единиц перейти к системе CGS9
то вместо g следует писать , где с — постоянная скорости света.
Функцию D необходимо при этом снабдить множителгм с2.
Полезно также подчеркнуть, что оба решения уравнений поля обеспечивают переход к закону падения (5,17,1) только в первом 17. Поле тяжести в ОТО
189
приближении, тогда как точная форма релятивистских уравнений движения отличается от этого закона.
Как указывалось в главе IV1 необходимым и достаточным условием вырождения римановой геометрии в эвклидову является исчезновение тензора кривизны Римана — Кристофеля. В общем случае для четырехмерного континуума число существенных компонент тензора кривизны, которые должны быть заданы независимо, равно 20; остальные компоненты можно получить при помощи известных алгебраических свойств этого тензора.
Прямое вычисление показывает, что в нашем случае отличаться от нуля могут только следующие существенные компоненты:
