Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
1. Орбиты класса А определяются монотонным изменением переменной и от нуля или от некоторого положительного значения до
величины-^ . Этому классу принадлежат случаи: 1) когда функция
f (и) имеет один вещественный корень; 2) когда функция f (и) имеет двойной wi,2 и простой us вещественные корни, а начальное значение переменной и задано в интервале ; 3) когда все корни полинома f (и) вещественны и различны,а начальное значение лежит в интервале ^3, -^j. Рассмотренный случай а = 0 также можно
отнести к этому классу.
2. Классу В принадлежат орбиты, для которых кратный корень полинома f (и) превосходит простой. В этом случае, в зависимости от условий и0 ^ u2tз, переменная и монотонно возрастает от нуля
(если u1 < 0), ИЛИ OT M1 (если u1 > 0) ДО «2.3, ИЛИ ОТ «2.3 ДО .
В данный класс входит также орбита и = «2.3.
3. Орбиты класса С определяются существованием трех различных вещественных корней полинома f (и), из которых меньший отрицателен или равен нулю, и заданием начального условия в интервале (0, и2). Орбиты этого класса характеризуются возрастанием переменной и от нуля до наибольшего значения и2 и последующим убыванием от и2 до нуля.
4. К классу Д относятся орбиты, для которых функция f (и) имеет различные положительные корни, а начальное значение переменной и лежит в интервале («1э U2). Орбиты этого класса характеризуются колебательным изменением переменной и между ult u2 и являются периодическими. При u1 = и2, а также при u1 = u2 ==• uz орбита вырождается в окружность.
2. Исследование орбит. Переходим к исследованию орбит в соответствии с принятой классификацией. 13* 196
Г лава VI. Основные следствия ОТО
Таблица 1
Значения постоянных Вещественные корни полинома Интервалы переменной
8 ~9 (а* < 12т2 \0 < а < 1 U1 > О ("•• іЬ)
а2 < 12т2 0 < а < а, «, > О ("" Im")
a = СС] 1 — 2at 1 6/n («!•«2.3). («2.8-^)
1+a, 6т (U1-Ut). («,. J-)
T<h*<l (X1 <а<сц U1 > 0, Uir иг
a = Ot2 6/n '
l+2as 6т ("" і)
а2 < а <1 і U1 > О
а2 ! < 12т2
0 < а <а, "і
h1 = I а = O1 и, = 0, u2 J — 6m (°' "Sm") (0. («, І)
< а < 1 U1 = 0,
3 T V 3 (4a2 — 1) "2.3 - i2m
К ! < 12т2 "і (о 1 Ї
0 < а Ca1 Г ^rj
Aa > 1 а = O1 1 —2а, "1== 6т ' 1 + а, 6т
(X1 <а < 1 U1 < 0, и2, и3 ; (<>,«,).(«,.-Ir) 2. Исследование орбит
197
Орбиты класса А. Согласно определению, переменная и является монотонной функцией полярного угла ф. Считая, что положительное направление <р отвечает возрастанию а, можно положить
> 0. В таком случае, согласно (6,1,7),
"-^-тЦтж- <6'2Л>
Рассмотрим первый из трех случаев, указанных в определении орбит класса А, когда полином / (и) имеет один вещественный корень.
При всех вещественных значениях переменной U трехчлен JJ^l
остается положительным. Поэтому на основании очевидного равенства
находим
Г ("О — Зи? —^j- + а-2 > 0.
Введем новую переменную с помощью соотношения
«-«1 +VTO (6.2,2)
Предварительно представим полиі ом (S1I1IO) в виде
Если подставить (6,2,2), то после необходимой перегруппировки членов получится
I (и) - уТы {(з«, - -jL) у ГШ • Igs -I + УШ> ¦ Ig1 -У +
+ Зи'—S-+"""')•
Принимая во внимание, что трехчлен — H- аг2 совпадает с величиной f (ui)t это равенство можно написать так:
t <«) - If («Л4 {sin* -f + cos' -I + -^j*- sin- ® X
X COS- 4-jvf«- f.
Теперь нетрудно получить
f (И) = 1/' ("l)l 2 (1 - *a Sin2 Ф) tg" -f- cos-4 -I-, 198
Г лава VI. Основные следствия ОТО
где
/ Sul--— \
'-Tl1--Fre-J-
В результате указанного преобразования уравнение орбиты приводится к следующему:
Ф-Фо = 14тг (u1)]" * {I-g— j -?), (6,2,4)
О о
где для краткости принято обозначение
ДФ = ]/1— кг sin2 Ф. Точка орбиты, ближайшая к центру поля гравитации, лежит на гравитационной поверхности и = . Если ft> 1, вследствие
чего H1 < 0, то орбита имеет бесконечно удаленную точку.
Пусть орбита класса А относится ко второму случаю, когда меньший из вещественных корней полинома f{u) —двойной, а начальное значение u0 принадлежит интервалу ^a3, -^j. Уравнение (6,1,7) легко интегрируется в элементарных функциях
Ф — Фо = , 2 arctg Y JLzHl Г . (6,2,5)
Y ™ V2т (и3-U1) s У и*-"і k v '
Орбита соединяет сферу и = и3 с гравитационной поверхностью
Предположим, наконец, что все корни полинома / (и) вещественны и различны, а начальное значение U0 принадлежит интервалу
(^3' ^jlя ПР0СТ0ТЫ положим и0 = и3.
Замечая, что величина f (u1) — положительна, подставим (6,2,2), представив предварительно полином в виде произведения (U-U1) (U-U2) (и —и3). После необходимых преобразований, аналогичных выполненным в предыдущем случае, получим
/<«>-1№)14{1- 4(1 + "Vm=T)sin*ф} tg^cos"4^-
Каки прежде, уравнение орбиты приводится к (6,2,4), но модуль эллиптических интегралов определяется теперь формулой 2. Исследование орбит
199
и превосходит единицу, так как при всех U1 < U2 < U3
и2+и9 — 2иг
>2.
Vr (u1)
Однако при всех значениях и в интервале уравнение
(6,2,6) остается вещественным. Действительно, наибольшая величина переменной Ф, отвечающая и «= ~, согласно (6,2,2), определяется равенством
