Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
165
Если величина % конечна, то функция (5,11,2) непрерывна и ко* нечна во всех точках; при % оо она приобретает в точке Oi, 6S, cs бесконечно большое значение. В точках, отличных от os, 6s, cs, второй интеграл в (5,11,2) при Л оо исчезает, а первый стремится
К , вследствие чего U 2
При произвольном X выделим в выражении потенциала U член, отвечающий S = т. е. составим величину U = mkUk + U (k)f где U {k) = ^msUs представляет собой потенциал масс с плотностью
s+k
2 ^saS- Дифференцируя эту сумму по какой-либо координате,
s+k
получим
dU dok drk , dU (k)
дх ~~ Шк дгк дх ^r йс
Согласно (5,11,2),
Поэтому при rA О имеем 0.
Отсюда следует, что при х ak, у bk, z ck производные от потенциала по координатам определяются формулами
/ dU \ ^ дЩк) [ дх Jk дак
Заметим еде, что потенциал U и функции Us при произвольном X удовлетворяют уравнениям Пуассона A U = —4яр, AUs = —4jwjs, которые при Л оо переходят во внешних точках в уравнения Лапласа A U = О, A Us = 0.
В последующих вычислениях принято, что потенциал и его производные по пространственным координатам, а также компоненты ускорений ast bs, Cs являются величинами первого порядка малости, а составляющие скоростей as, 6S, cs — величинами порядка
Как уже сказано, задача состоит в интегрировании уравнений поля с точностью до членов второго порядка включительно.
Будем пользоваться прежним разложением gy = + кц. Члены первого порядка в диагональных элементах Л// определяются формулами (5,10,5). На основании решения (5,10,2) нетрудно убедиться в том, что в элементах hiA (/ Ф 4) содержатся члены не ниже
з
порядка а в элементах кц (іі, j Ф 4) — не ниже второго. С этой 166
Г лава V. Общая теория относительности
точностью указанные элементы, согласно решению Эйнштейна (5,10,2), равны:
A14 = 42msasUs; A24 = 42msbsUs; A34 = ZmsCsUs; (5 j j ^ 3)
A12 = — 42 msasbsUs; A18 = — AZmsUsCjJs; A23 = — 42msbscsUb.
Для составления уравнений поля во втором приближении необходимо найти с соответствующей точностью компоненты тензора энергии-импульса. Введем обозначения
Tu = ZmscHas; T12 = ZmsaJ)sos; T18 = 2msafsos;
T14 = ZmsaQs;
Tl2 = Zmsbs*os; T23 = ZmsSj5Os; T^ = ZmJbsOs; (5,11,4) T33 = ZmsClas; Г34 = ZmsCsOs; f44 = 2msas
и напишем искомые компоненты в вйде Ti* =?= Ti' + Si'/, где S" — поправки, которые должны быть определены в согласии с законом сохранения.
Три первые компоненты ковариантной дивергенции тензора энергии-импульса
7^=^ + 1?^+ IV*
если принять во внимание значения символов Кристофеля, ограничиваясь членами первого порядка, выражаются формулами
Tia = OSia 4- d^a J- -L-^"- fu /a дх* дх* 2 дх1
Вычислим первую из этих компонент. Согласно (5,11,4), имеем
df\a '{-dos . і dos ' dos . dos\ .
+ 2 mA°s = 2 "W»
так как
Л* • . Лт
доS до с
и -JT1- ---Ti- и г. Д.
das дх
Далее,
dhM Т"___ ди
дх 4 v дх' 11. Решение уравнений поля для системы точечных масс
167
Следовательно,
гр\а
-^Г -Г -''Ws- V-Qi
/тііа ASla , т#и " ^dU T/а = —5" + 2/nsosas — р ¦
Аналогичными формулами выражаются вторая и третья компоненты дивергенции.
Четвертая компонента ковариантной дивергенции находится при помощи соотношения
as* VT4a д ( г. , \ TfAa. 1 dhu =V44
и оказывается равной
~4a dS4cc du
Таким образом, закон сохранения тензора энергии-импулкз приводится в нашем случае к системе четырех уравнений
dSla dU
дха = P дх
dS2* dU
дх* = P ду
^S3a dU
= P dz
OS4a do
дха
S msaso&;
2 ms6sas;
(5,11,5)
2mscsas;
Десять поправок St*, удовлетворяющих этой системе, можно выбрать различными способами. Положив S12 = Sls = S28 = S44 = = 0» примем
5» - 2 ms j as (*L _ 5.) Лг, S- = 2 J ("f - - О
S» - 2 j as - cs) dz; S- = - 2 "A J P -?- «І*
(5,11,6)
5- - - 2 «A J P S» = - 2 mfs J р
Этими формулами и соотношениями (5,11,4) определяются конт-равариантные компоненты тензора энергии-импульса J*' = Tv' + + S" с нужной для наших целей точностью. Ковариантные 168
Г лава V. Общая теория относительности
компоненты этого тензора легко вычислить по формулам
Г|/ = (віА/+віЛ/ +
с помощью которых с достаточной точностью получаем Tij = Ti\ Tii = T1 + Sa; Tu = - T4i = Г44 - 4р(/, (5,11,7)
где і, / различные индексы, отличные от 4.
12, Уравнения поля во втором приближении. Рассматривая решение Эйнштейна, мы сохраняли в выражении тензора Риччи только линейные члены относительно поправок hif й их производных. Теперь такое представление недостаточно. Для составления уравнений поля во втором приближении необходимо аппроксимировать тензор Риччи с точностью до членов второго порядка относительно указанных величин.
Воспользуемся общей формулой для ковариантных компонент тензора Риччи (4,9,3). В соответствии с сигнатурой квадратической формы ОТО напишем эту формулу так:
г> _ drfi , p? pa pa din V=g , &\ny—g
Простые, но несколько громоздкие вычисления, которые мы здесь не приводим, позволяют получить следующие выражения для компонент тензора Риччи с принятой точностью:
