Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
К - 4-V* - -4 Jp-I Tii Iler, dx'dy'dz'. (5,10,2)
Это и есть решение Эйнштейна, определяющее систему величин Hii в каждой пространственно-временной точке х, у, z, t. В правой части равенства интегрирование выполняется по всему пространству. При этом г'2 = (X — x'Y + (у — уу + {Z- 2')\ IТф^г значения компонент тензора энергии-импульса в точке х', у , z\ взятые для момента t — г\
В качестве иллюстрации применим решение (5,10,2) к системе тел, размеры которых малы по сравнению с расстояниями между ними. Релятивистские массы тел обозначим через ms, их плотности — через ps. Введем функцию
^ = ^ = (x-xsf + {y-ysf + (z-zs)\ (5,10,3)
которая с точностью до постоянного множителя совпадает с потенциалом поля в точке X1 у, Z.
В системе CGS величина U представляет собой отношение обычного ньютонова потенциала к квадрату скорости света. Будем считать ее величиной первого порэдка малости. Тогда скорость, выраженная в релятивистских единицах (т. е. отношение Скорости
вещества к скорости света), является величиной порядка
Если искать решение уравнений поля с точностью до членов первого порядка, то в (5,10,2) можно принять \Тц\^ = \Тц\t, так как это упрощение повлияет лишь на члены более высоких порядков малости. По той же причине из всех компонент тензора энер-гии-импульса внутри тел достаточно сохранить Г44 = ps, положив остальные компоненты равными нулю. Единственной отличной от нуля ковариантной компонентой оказывается T44 = ps.
При і = / = 4 правая часть соотношения (5,10,2) равна — 4 У—; 10. Решение уравнений Полл для Системы точечных масс
163
при других значениях і, / она исчезает. Следовательно,
2 (5,10.4)
Принимай во внимание соотношение A = — A11 — A22 — A33 + A44t получаем
A11 - A22 = A33 = A44 = - 2(Л (5,10,5)
Таким образом, метрику пространственно-временного континуума, отвечающего данной системе масс, с точностью до членов первого порядка можно описать квадратической формой
ds* —(1 + 2(/) (dx2 + dy2 + dz2) + (1 + 2U) dt*. (5,10,6)
Если пользоваться системой единиц CGS и ввести обычный ньютонов потенциал ф, To (5,10,6) примет такой вид:
ds2 = -(l + (dx2 + dy2+ dz2) +с* (1 --5-) гіЛ (5,10*7)
В заключение следует сказать, что решением Эйнштейна во многих случаях удобнее пользоваться в несколько ином виде.
Умножив (6*9,2) на W и выполнив полное свертывание, получим
A = 4^\T\t-r-dx'dy'dz'9
где Г — инвариант тензора энергии-импульса.
Следовательно, вместо (5,10,2), можно написать
hlf = - 4 J Tr I Г</--Г 6<7Т L dx^7fe'" <5'10'8>
11. Решение уравнений поля для системы точечных масс. Переходим к интегрированию уравнений поля для системы точечных масс с точностью до членов второго порядка включительно. Массы материальных точек» как и прежде, обозначим через ms. Закон движения системы, выражающий координаты точек в функциях времени as = as (/), bs = bs (t),cs = cs (/)> оставим пока неопределенным.
Материальным точкам отвечает дискретное распределение массы в пространстве. Однако мы будем рассматривать некоторое непрерывное распределение по всему пространству, заданное таким образом, чтобы при помощи соответствующего предельного перехода оно превратилось в систему точечных масс.
Введем функцию а (а, Л), непрерывную и неотрицательную для всех а и Л в интервалеО—оо и при заданном Я имеющую наибольшее значение при а = 0. Подчиним эту функцию условиям:
1) при а = 0 Ііш а — оо;
2) при а Ф 0 Iim а = 0;
X-+OO
11* 164
Г лава V. Общая теория относительности
3) при произвольном X 4я ? a2O (а, X) da = 1.
о
Функцию, отвечающую перечисленным требованиям, можно задать различными способами; в частности, можно положить а = = Х*п~*'* er**».
Введем обозначение
г? = (в,-xf + (bs-y)2 + (Cs-Z)2
и примем для краткости as = er (rs, X).
Функция р = 2msas, которую в дальнейшем мы называем плотностью, при конечном Я непрерывна во всех точках; а при X-+ оо соответствует системе материальных точек с координатами as, &s, cs и массами ms. Пользуясь этим определением, составим приближенное решение уравнений поля при непрерывном распределении массы и, положив затем X оо, найдем искомое решение для системы точек. Если ввести обозначения
г'2 = (х — х')2 + (у — yf +(Z- г')2;
Г? = (*' - CLs)2 + (у' - bs)2 + (Zt - Cs)2-,
и положить
и* = (5.11.1)
то ньютонов потенциал масс с плотностью р определится формулой U = HmsUs.
Величину (5,11,1) можно рассматривать как потенциал поля, обусловленного сферическим распределением массы с плотностью а^, в точке, находящейся на расстоянии г$ от центра этого распределения. По отношению к массе, заключенной внутри сферы радиуса rs, данная точка является внешней, тогда как по отношению к массе, расположенной вне указанной сферы,— внутренней. Первая масса создает в этой точке потенциал
г
4я *
\ a2O (а, X) da.
rS о
OO
Потенциал, обусловленный второй массой, равен 4я J аа(а,Я,) da.
„ rs
Поэтому
rS
U5 = -уї- j а (а, X) a2da + 4я f а (а, X) ada. (5,11,2)
* А Г 11. Решение уравнений поля для системы точечных масс
