Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
п _ 1 . і I д ( 1 dh &аа Mal \
+ Ь [-T^ -б<га дЩ+«"«"w*..+<Гил) -
где Tiftk — символы Кристофеля первого рода, которые определяются соотношениями (4,3,4), A'/ = 6'??/, А имеет прежнее значение, а величина H задана равенством
H = A11 (A22 -г A33 — A44) + A22 (A33 — A44) — A33A44 — — Aj2 — Aj3 — A^3 + Aj4 + A^4 + A^4.
Тензор Риччи должен быть вычислен с точностью до членов второго порядка относительно потенциала, причем компонентам скоростей и ускорений следует приписать порядки і- и 1 соответственно.
Применяя (5,12,1), в линейных членах, которые содержат величины At/, известные нам лишь в первом приближении, сохраним обо- 12. Уравнения поля во втором приближении
169
значение А//. В остальные линейные члены внесем (5,11,3). Члены второго порядка вычислим с помощью соотношений (5,10,5).
Найдем Riv Согласно (5,12,1), в эту компоненту входит сумма
COtt _ *5ц , Fhl2 Phiz
дхдх" ~~ дх* дхдУ dxdt
С помощью соотношений (5,11,3) получаем
J^12 , Fhіз __4 "V m a Ih H- ; Ї
ах ау дхдг~ * Zd s s \s ах ду ^ дх dz у
Пдследний член этой суммы
Fhu л V " W* , V " I FUs •
^ дхдс&с*1
приводится к величине
>. V ~ dUs A V ' I FUs • &US ; . FUs Л
Л. Tl dus duс
так как, согласно определению функции Us1 имеем =--
ит.д.
Следовательно,
соа та\ Fhll -• dUs , . ^ * 2 FUs
Принимая во внимание это равенство и вычисляя члены второго рорядка с помощью (5,10,5), найдем
і а2л , а2лп , . V 2?
P - 1 Г-Мг 4- 1 d hA- d h« 4- 4 У
"Vfe - —
ах2
2
- 4 У «'A т - 2 (-?") - 4^ - 2 terad ^2 + 8jtPt7-
(5.12,2)
По аналогии легко написать выражения для R2it R33. Положив і = / = 4, найдем последнюю из диагональных компонент тензора Риччи
Ru = -^-D Л44 + 2 (grad Uf + 8ярU. (5,12,3) 170
Г лава V. Общая теория относительности
Из компонент, соответствующих различным индексам, отличающимся от четырех, приведем
0V I" dus , У dUs \ 0dU du лТЇ d*U /f- 10
Аналогичными формулами определяются R23, R31.
При і = 1,/ = 4 получаем
, д I dh dhU , dftU , ^hu dh3i \ /г 19rv
+ -Ш\ді дГ +-дГ + -дї~ + -дГу
Нетрудно составить аналогичные выражения для R24, /?з4-
Инвариант тензора Риччи в том же приближении вычисляется ПО формуле R = gbtRafi = (Saa Aaa) ^aa-
+ 4 2 <(?-?- + Sj--?" + Cs -?-) + 10 (grad Uf - 64при.
(5,12,6)
Теперь в нашем распоряжении имеются все величины, необходимые для составления уравнений поля в развернутой форме. Каждому из них припишем для удобства двузначный номер, отвечающий индексам і, /. Соответствующие алгебраические преобразования не представляют никаких трудностей. Опуская эти преобразования, напишем некоторые из уравнений, сохранив для тензора энергии-импульса обозначение (5,11,7).
Уравнение 11 имеет вид
? (Au + 4 А) + W <А + 2Л"> - W (А + 2k^ ~
, , V / •• dus , у dUs ,•¦ dUs\ .(dU V
— 8U -?- + 6 (grad Uf — 32ярі/ = — 16п (fu + S11). (5.12,7)
По аналогии легко написать уравнения 22 и 33. 12. Уравнения поля во втором приближении
171
Уравнение 44 получим в следующей форме:
? (ft*--1Y а) + + 2AU) +-^Г(ft + 2/?) +
+ iff + aw + «2^'-?- + *-?-+*
~4 ^ + ^"f" + - eceradw =
= - 16я (Г44 + 2р U). (5,12,8)
Из трех уравнений с различными индексами, отличающимися от четырех, укажем уравнение 12:
Oh12 +-^-(h + hn + As2) + 42тМ+ Щ -
. V (" dU, . г dUs \ . dU dU
- 4 Zт>К~дГ + ь* ST) - 4 аГ W-
- W = - l6nfV ^5'12'9)
Остальные три уравнения отвечают і Ф 4, / = 4; из них напишем уравнение 14:
?^+Т^+^+тГ + т)-!
(5,12 JO)
Всего имеется десять довольно сложных дифференциальных уравнений.
Искомые функции представим в следующем виде:
Ki = hu + kih (5,12,11)
подчинив hiJ системе уравнений
? (Ki - х bA = - (б. 12.12)
где принято h = 6арЛсф.
Поправки ft,-/ должны удовлетворять системе десяти дифференциальных уравнений. Как и прежде, напишем четыре уравнения
^rikst-*44> + (*» - + W^+ 27t^) - 2^ -
д1 /Т і от \ , V „ / PUs , Ws , 2 W1
(5 + 2JJ-42т,(.-a+ a+ <2 +
+42^(-^+^+^)-4(?-;-
- 86/ + 6 (grad У)2 - 32ярі/ = - 16nS"; (5,12,13) 172
Г лава V. Общая теория относительности
(^22 + ^зз) Jtya" (^33 + ^n)--JfcT (^11 + ^22) +
+ W^+ 2^") + 1^* + 2?+ + +
_i , asfwS і ^ ,V /•• dt/s , V dus .
+ cs -?-) - б (grad Uf = - 32лр?/; (5,12,14) — + -afd- — *зз) + — A88) + 4 2 (as + Й) X
(5,12,15)
-AtJ- ( dkU 4. 4- ^84 \ ,
a / а/ї14 алг4 a/T^ , dh Shu \ _ Q 2 + a* ( ал: + ду + аг ' dt дГ) ~~ U- l0'1^10)
Шесть из этих уравнений, которые здесь не приводятся, распадаются на группы по два, аналогичные написанным выше четырем уравнениям соответственно.
13. Определение величин Ku. Величины Лц удовлетворяют системе уравнений (5,12,12), решение которых имеет вид
bti - -T 6^ = - 46"6'/ J ^r I Tli 1с?т'/_л', (5,13,1)
где dx' = dx'dy'dz', и интегрирование осуществляется по всему пространству. Выражение 17^7]/^ представляет собой значение 71// в точке х\ у\ Zft взятое для момента t — г'. Переменная г' определяется соотношением
г'2 = {Х _ + ^ _ у'р + {г_ гу
