Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
=1 —kr2; k = 4" 5tP' (5'9'2>
так как вследствие конечности е-* в центре сферы для постоянной интегрирования следует принять нулевое значение. Объединяя два первые уравнения (5,9,1), имеем
или, если внести найденное значение функций а, В» 4- Р'2 P' -Q
P +"2---л(1 — kr*) -U-9. Внутреннее решение Шварцшильда
159
Интегрируя, получим
V \ —kr*
где В — произвольная постоянная. Повторное интегрирование дает
е* = {А —В Kl-F2)2, (5,9,3)
где А — новая постоянная.
Давление находится теперь с помощью второго из уравнений системы (5,9,1) _
k 3BY \ — kr2 — А - 0 .
Pssa-W л-ідуі-^ - (5Д4>
Постоянные интегрирования определяются по условиям на гра-нице сферы, где внутреннее решение должно совпадать с внешним.
Согласно (5,8,5), на границе е* = 1 — Приняв 2т =
о
= -TrTCpR3 = kR3 и сравнивая оба решения, получим
о
\—kR2 = (A—BVr 1-kR2)2.
Второе уравнение находится из условия р = 0.
A — SB Vr 1 —kR2 = 0.
Совместное решение этих уравнений дает
Л = ? = (5,9,5)
Формулы (5,9,2) — (5,9,4) вместе с (5,9,5) дают полное решение задачи.
Переходим к случаю сжимаемой сферы, когда интегрирование уравнений поля не может быть завершено без дополнительных условий.
Введем функцию
т (г) = 4я J r2pdr.
Последнее из уравнений (5,9,1) можно переписать так:
2т (г) = 1 — (ге-«)\ Это уравнение легко интегрируется и дает
?—a __ J _ (')160
Г лава V. Общая теория относительности
так как вследствие т (0) = 0 постоянная интегрирования имеет нулевое значение.
Сложив второе и третье уравнения (5,9,1), находим а' + ?' = = 8л (р + р) геР. Согласно внешнему решению на границе сферы, т. е. при г = Rt должно выполняться соотношение а + ? = 0. Поэтому, интегрируя написанное уравнение в пределах от г до Ri получим
R
а + ? = — 8я j (р + р) re*dr,
г
ИЛИ
R
—а—8а jip+py&dr Є?= Є г
Итак, внутреннее решение уравнений поля для сферической конфигурации в случае сжимаемой среды имеет вид
R
^ Л е J г J (5 9 6)
Для фактического вычисления функций ^a, еР необходимо знать распределение плотности и давления в конфигурации.
Поскольку при выводе (5,9,6) одно из уравнений системы (5,9,1) остается неиспользованным, в общем случае можно найти зависимость между давлением и плотностью в виде уравнения, которое служит релятивистским обобщением закона гидростатики механики Ньютона.
Сопоставляя первые два уравнения (5,9,1), имеем
с-*(.У «у , ?'2 <*' + ?'__L), _L_o
е [ 2 ^^ ^r 4 2г г2 J ^ г2 - Ut
или, если умножить на у и выполнить соответствующие преобразования,
Вновь воспользовавшись вторым уравнением (5,9,1) и применявшимся ранее соотношением a' + ?' = Sn (р + р) TeFf-, найдем
ТГ + -ТІР + Р)Р' = 0.9. Решение Эйнштейна для слабого поля.
161
Остается внести сюда значение производной ?', для которой из (5,9,6) следует
»'--^(' + -Эд--s^f1-
Таким образом, давление и плотность в равновесной сферической конфигурации связаны уравнениями
dp , т (г) р dr + г*
¦('+fJC+^-K1-1^r-0= <ЗД7>
dm (г) _ ^яг2р
dr
Эта связь выражает в ОТО условие гидростатического равновесия рассматриваемой конфигурации. Как и в механике Ньютона, для решения уравнений равновесия требуется задать закон состояния вещества сферы в форме той или иной зависимости между давлением и плотностью.
Все вычисления были выполнены в релятивистских единицах, что позволило несколько упростить запись коэффициентов. Если перейти к системе CGS, которой обычно пользуются в приложениях, то уравнения (5,9,7) примут следующий вид:
+-*)(' +-SStK' --У-Г
dM А 2 ~1Г в 4лг р-
(5,9,8)
Релятивистские поправки выражаются тремя двучленными множителями. В обычных условиях, например для Солнца и других звезд, каждый из этих множителей приводится к единице, и соотношение (5,9,8) лревращается в уравнение равновесия, основанное на законе тяготения Ньютона. Даже для белых карликов с очень высокими плотностями релятивистские поправки малы.. Однако для гипотетических сверхплотных звездных конфигураций они имеют весьма существенное значение.
10. Решение Эйнштейна для слабого поля. Точные решения уравнений поля удается найти только в немногих частных случаях, когда распределение масс удовлетворяет специальным условиям. При произвольном распределении масс Эйнштейн указал общий метод приближенного интегрирования этих уравнений, пригодный для достаточно слабогаполя [191.
Будем считать, что пространственно-временной континуум мало отличается от метрики мира Минковского СТО. Представим компоненты метрического тензора в виде gn = 6t7 -f Iiiil допуская, что поправки А*/ и их производные достаточно малы. В уравнениях
11 А. Ф. Богородский162
Г лава V. Общая теория относительности
поля условимся сохранять только линейные относительно этих величин члены При сделанных предположениях уравнения поля можно привести к следующему виду (см п. 5):
? ^hii--Y 6</AJ = - ІбпТф (5,10,1)
где
Уравнения (5,10,1) относятся к типу Даламбера, хорошо изученному в математической физике. Применяя обычный метод интегрирования, получаем