Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Богородский А.Ф. -> "Всемирное тяготение" -> 57

Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.

Богородский А.Ф. Всемирное тяготение — К.: Наук. думка, 1971. — 354 c.
Скачать (прямая ссылка): vsemirnoetyagotenie1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 125 >> Следующая


=1 —kr2; k = 4" 5tP' (5'9'2>

так как вследствие конечности е-* в центре сферы для постоянной интегрирования следует принять нулевое значение. Объединяя два первые уравнения (5,9,1), имеем

или, если внести найденное значение функций а, В» 4- Р'2 P' -Q

P +"2---л(1 — kr*) -U- 9. Внутреннее решение Шварцшильда

159

Интегрируя, получим



V \ —kr*

где В — произвольная постоянная. Повторное интегрирование дает

е* = {А —В Kl-F2)2, (5,9,3)

где А — новая постоянная.

Давление находится теперь с помощью второго из уравнений системы (5,9,1) _

k 3BY \ — kr2 — А - 0 .

Pssa-W л-ідуі-^ - (5Д4>

Постоянные интегрирования определяются по условиям на гра-нице сферы, где внутреннее решение должно совпадать с внешним.

Согласно (5,8,5), на границе е* = 1 — Приняв 2т =

о

= -TrTCpR3 = kR3 и сравнивая оба решения, получим

о

\—kR2 = (A—BVr 1-kR2)2.

Второе уравнение находится из условия р = 0.

A — SB Vr 1 —kR2 = 0.

Совместное решение этих уравнений дает

Л = ? = (5,9,5)

Формулы (5,9,2) — (5,9,4) вместе с (5,9,5) дают полное решение задачи.

Переходим к случаю сжимаемой сферы, когда интегрирование уравнений поля не может быть завершено без дополнительных условий.

Введем функцию

т (г) = 4я J r2pdr.

Последнее из уравнений (5,9,1) можно переписать так:

2т (г) = 1 — (ге-«)\ Это уравнение легко интегрируется и дает

?—a __ J _ (') 160

Г лава V. Общая теория относительности

так как вследствие т (0) = 0 постоянная интегрирования имеет нулевое значение.

Сложив второе и третье уравнения (5,9,1), находим а' + ?' = = 8л (р + р) геР. Согласно внешнему решению на границе сферы, т. е. при г = Rt должно выполняться соотношение а + ? = 0. Поэтому, интегрируя написанное уравнение в пределах от г до Ri получим

R

а + ? = — 8я j (р + р) re*dr,

г

ИЛИ

R

—а—8а jip+py&dr Є?= Є г

Итак, внутреннее решение уравнений поля для сферической конфигурации в случае сжимаемой среды имеет вид

R

^ Л е J г J (5 9 6)

Для фактического вычисления функций ^a, еР необходимо знать распределение плотности и давления в конфигурации.

Поскольку при выводе (5,9,6) одно из уравнений системы (5,9,1) остается неиспользованным, в общем случае можно найти зависимость между давлением и плотностью в виде уравнения, которое служит релятивистским обобщением закона гидростатики механики Ньютона.

Сопоставляя первые два уравнения (5,9,1), имеем

с-*(.У «у , ?'2 <*' + ?'__L), _L_o

е [ 2 ^^ ^r 4 2г г2 J ^ г2 - Ut

или, если умножить на у и выполнить соответствующие преобразования,

Вновь воспользовавшись вторым уравнением (5,9,1) и применявшимся ранее соотношением a' + ?' = Sn (р + р) TeFf-, найдем

ТГ + -ТІР + Р)Р' = 0. 9. Решение Эйнштейна для слабого поля.

161

Остается внести сюда значение производной ?', для которой из (5,9,6) следует

»'--^(' + -Эд--s^f1-

Таким образом, давление и плотность в равновесной сферической конфигурации связаны уравнениями

dp , т (г) р dr + г*

¦('+fJC+^-K1-1^r-0= <ЗД7>

dm (г) _ ^яг2р

dr

Эта связь выражает в ОТО условие гидростатического равновесия рассматриваемой конфигурации. Как и в механике Ньютона, для решения уравнений равновесия требуется задать закон состояния вещества сферы в форме той или иной зависимости между давлением и плотностью.

Все вычисления были выполнены в релятивистских единицах, что позволило несколько упростить запись коэффициентов. Если перейти к системе CGS, которой обычно пользуются в приложениях, то уравнения (5,9,7) примут следующий вид:

+-*)(' +-SStK' --У-Г

dM А 2 ~1Г в 4лг р-

(5,9,8)

Релятивистские поправки выражаются тремя двучленными множителями. В обычных условиях, например для Солнца и других звезд, каждый из этих множителей приводится к единице, и соотношение (5,9,8) лревращается в уравнение равновесия, основанное на законе тяготения Ньютона. Даже для белых карликов с очень высокими плотностями релятивистские поправки малы.. Однако для гипотетических сверхплотных звездных конфигураций они имеют весьма существенное значение.

10. Решение Эйнштейна для слабого поля. Точные решения уравнений поля удается найти только в немногих частных случаях, когда распределение масс удовлетворяет специальным условиям. При произвольном распределении масс Эйнштейн указал общий метод приближенного интегрирования этих уравнений, пригодный для достаточно слабогаполя [191.

Будем считать, что пространственно-временной континуум мало отличается от метрики мира Минковского СТО. Представим компоненты метрического тензора в виде gn = 6t7 -f Iiiil допуская, что поправки А*/ и их производные достаточно малы. В уравнениях

11 А. Ф. Богородский 162

Г лава V. Общая теория относительности

поля условимся сохранять только линейные относительно этих величин члены При сделанных предположениях уравнения поля можно привести к следующему виду (см п. 5):

? ^hii--Y 6</AJ = - ІбпТф (5,10,1)

где

Уравнения (5,10,1) относятся к типу Даламбера, хорошо изученному в математической физике. Применяя обычный метод интегрирования, получаем
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed