Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Вне масс, где тензор энергии-импульса исчезает, система уравнений поля будет следующей:
д dL dL =0, (5,7,9)
аналогичной уравнениям Лагранжа ньютоновой механики.
В заключение мы вновь подчеркнем, что уравнения поля Эйнштейна в виде (5,5,4) или в рассмотренной выше форме (5,7,8) могут быть выведены однозначно только в том случае, если к основным условиям, сформулированным в п. 5, присоединить дополнительное требование, согласно которому эти уравнения являются линейными относительно вторых производных компонент метрического тензора и не содержат производных более высоких порядков.
Многие авторы выводят уравнения поля ОТО из вариационного принципа, аналогичного принципу наименьшего действия механики Ньютона. В математическом отношении такой вывод обладает определенными достоинствами. Однако с физической точки зрения едва ли можно признать предпочтительным, поскольку в выборе варьируемого интеграла допускают известный произвол, а принцип наименьшего действия для гравитационного поля и материи принимают в форме постулата. По мнению автора, более естественно рассматривать вариационный принцип ОТО в качестве следствия уравнений поля, подобно тому, как принцип наименьшего действия в дореляти-вистской классической механике был найден в качестве следствия законов Ньютона.
8. Внешнее решение Шварцшильда. Для большинства приложений ОТО основное значение имеет решение уравнений поля, отве- 9. Внутреннее решение Шварцшильда
153
чающее условию сферической симметрии. Приближенное интегрирование уравнений поля для этого случая впервые выполнено в известной работе Эйнштейна о движении перигелия планеты Меркурий (161. Вскоре Шварцшильд получил точное решение [171, которое мы здесь кратко воспроизводим.
Для пустого пространства, во всех точках которого тензор энер-гии-импульса тождественно равен нулю, уравнения поля (5,5,16) принимают вид
Rii = 0. (5,8,1)
Допустим, что поле гравитации статическое и обусловлено материальной точкой или протяженным телом со сферическим распределением массы. Задача о внешнем поле состоит в интегрировании уравнений (5,8,1) в предположении, что искомое решение удовлетворяет центральной симметрии, на достаточно большом расстоянии соответствует теории Ньютона, а на бесконечности приводит к квадратической форме СТО, которая в сферических координатах имеет следующий вид:
ds2 = — dr2 — r2d02 — г2 sin2 0d<p2 + dt2. (5,8,2)
Тело со сферическим распределением массы, помещенное в начале координат, не нарушает условия пространственной симметрии. Поэтому можно предположить, что квадратическая форма, отвечающая искомому решению уравнений поля, такова:
ds2 = — e"dr2 — r2d№ — г2 sin2 Qdiр2 + e?dt\ (5,8,3)
где а, ? — функции одного г, которые в отсутствие тела обеспечивают переход к (5,8,2), а на бесконечности принимают нулевые значения при любой массе тела.
Требуется определить вид функций а, ?, согласно уравнениям поля (5,8,1). Положим г, 0, <р, t = Xі при і = 1, ... 4. При этом компоненты метрического тензора будут
fill = —2а; g22 = —r2\ ?зз = -г2 sin2 0; g44 =
gii = 0, і* А
Определитель, составленный из этих компонент, равен g = = —/4Sin2Oe0H-P, а контравариантные компоненты метрического тензора определяются формулами
В11 ^z ~ e^a"' ^22 ^s W * ^33 = г2 sin2 Є ; ?44 = er^
= 0; lj*\.
Пользуясь этими значениями, найдем компоненты тензора Риччи, 154
Г лава V. Общая теория относительности
Символы Кристофеля при различных /, k вычисляются по формулам
rj._ft Ib---J-^-Sl'
которые легко получить из (4,3,4) — (4,3,5) принимая во внимание что при і Ф j в нашем случае g// = gli = 0.
Эти вычисления показывают, что все отличные от нуля символы Кристофеля таковы:
гі _ р2 — 1 . гз__L- г4__&L • г1 —_ гл-^-
1 11 — 2 ' 1 12 ~~ г * 1 13 г » 1U"" 2 ' 22 - »
Г|з = ctg Э; T133 = -T sin2 for"; I^3 = — sin Є cos 0; Г1 = p?-a
I44 — 2 Є
Диагональные компоненты тензора Риччи определяются соотношениями
р- Р" «Г . Р,а .
iMi ~ ~9 4 г ~4 Г"»
= + -l_(?'_a')]-l; ^33 = е-« sin20 [1+-5-01'-а')] - sin2 0;
тогда как остальные компоненты этого тензора тождественно исчезают.
Система уравнений поля сводится в данном случае к следующим трем дифференциальным уравнениям относительно функций а, ?:
JH. a'?' _ _P'f_ _ JL л (5,8,4)
2 4 4 г
Первое и третье уравнения этой системы дают а + ? = С, где С — постоянная интегрирования.
Как указывалось, на бесконечности функции 2а, приводятся к единицам; поэтому С = 0 и а -f ? = 0. 9. Внутреннее решение Шварцшильда
155
Второе уравнение (5,8,4) принимает следующий вид:
е-<*(1 — га')= і
и после интегрирования дает гег«= г + С', где С' — новая постоянная. Следовательно,
** = (i +-T1)"1; + ~
Нетрудно убедиться в том, что эти функции удовлетворяют всем трем уравнениям (5,8,4).
Найдем значение постоянной С'.
Согласно условию D9 в первом приближении величина—-^g44
с точностью до постоянной слагаемой должна совпадать с ньютоновым потенциалом (см. п. 5). Последний в релятивистских единицах
