Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
tg2
Фп
2т
ИЛИ
Sin2 Фт =
2 vft(u1)
Эта величина удовлетворяет соотношению 1 — Ji1 sin2 Фт ¦= О, где
k\
+
Рис. 17.
Поскольку модуль эллиптического интеграла (6,2,6) меньше величины k1% имеем 1 — Aj2Sin2 Фт > 0.
Применяя уравнение орбиты (6,2,4), в данном случае следует выполнить преобразование k sin Ф = sin xPf что приводит к эллиптическим интегралам с модулем < 1. На рис. 17 изображены орбиты первых двух типов класса А. При построении графиков принято: /і2
= lfa = 3,936 т; Л2 = ; а = 0,6404.
Орбиты класса В. Переходим к случаю, когда полином f (и) имеет простой U1 и двойной а2,з вещественные корни.
Прежде всего заметим, что если начальное значение переменной и совпадает с двойным корнем, то орбита этого класса является окружностью. Действительно, поскольку в точке W2.3 все производные
IPu
= mf' («);
dtp2 — "*/ V"/>
исчезают, переменная и имеет в этой точке стационарное значение 200
Г лава VI. Основные следствия ОТО
и — const == «2,3. Орбитой служит окружность
и = (6.2-7)
Согласно определению (6, 1, 11), величина аг представляет собой монотонно возрастающую функцию р. Поскольку полином f (и)
имеет простой и двойной корни при h2 > Y (т- е- ПРИ P > 0)» величина (X1 удовлетворяет условию 0 < CX1 < 1. Поэтому для орбит типа (6,2,7) имеем Зт < г < 6т. Присоединив случай трех равных
1 8 корней «1,2,3 = , соответствующий h2 = Y (р — CX1 = 0), можно
сказать, что рассматриваемый класс орбит содержит все-окружности, отвечающие условию Зт < г < 6т.
При U0 Ф и%% орбита отличается от окружности. Уравнение ее легко интегрируется:
1 ^ V »2.3-uI +Vu-Ul
ф—Фо = ,^ , =1"
Y 2т (и23 — U1) у и2г — U1 — У U-U1 если u0 < «2.3, ИЛИ
1 , Vu-Ul + Vu23-Ul
Ф —Фо=-- /0 , Jn'
(6,2,8)
(6,2,9)
У 2т (U23-U1) Vu — U1-J/" W2 з — U1
если u0 > «2.3.
Орбита (6,2,8) при u1 < 0 имеет бесконечно удаленную точку. В случае u1 > 0 наиболее удаленной точкой орбиты является « = = u1. При « «2.3 уравнение (6,2,8) дает <р — ф0 оо, показывая, что орбита имеет спиралевидную форму и асимптотически приближается к окружности (6,2,7).
Уравнение (6,2,9) определяет вторую спиралевидную орбиту, расположенную внутри окружности (6,2,7). Эта орбита также асимптотически приближается к указанной окружности и, подобно орбитам класса А, имеет точку на гравитационной поверхности. На рис. 18 изображены орбиты всех трех типов при A2 = 1.
В случае тройного корня «і,2.з = при условии U0 ф «1,2.3
уравнение (6, 1, 7) принимает после интегрирования вид
1/Х^-фо)
+
У7.
6т
=• 0 (6,2,10)
и определяет спиралевидную орбиту, которая имеет точку на гравитационной поверхности и асимптотически приближается к окружности г = 6т. Эта орбита изображена на рис. 19.
Орбиты класса С. Для орбит этого класса полином f (и) имеет три вещественных корня, из которых, меньший отрицателен или 2. Исследование орбит
204
равен нулю, а два другие положительны. Значения переменной и принадлежат интервалу (О, u2).
Орбита имеет бесконечно удаленную точку с координатами <р0, u0 = 0. Пусть положительное направление полярного угла соответствует возрастанию переменной и. При увеличении <р от ф<>
du
до некоторого <рш производная
dq>
остается положительной и переменная и возрасгает от нуля до максимума ит = u2. При дальнейшем
Рис. 18.
Рис. 19.
du
увеличении полярного угла производная , обратившись в нулы
в точке <рт, становится отрицательной; переменная и убывает от um до нуля.
Уравнение орбиты этого класса можно написать в виде
и
1 Г du
Ф<Ф„; Ф-Фо^-^Зущ-;
Ф' > ФФ' — Фо
?T «V
du __ Г du_\
VTV) JVm)'
v0 ' ' о
Заменим переменную при помощи соотношения
и = u1 + (u2 — W1) sin2 Ф. Выполнив необходимые преобразования, получим
Фо
2 I Г do с do
Ф — Фо =
V 2т (и3
/ф Фо
ДФ
(6,2,11) 202
Г лава VI. Основные следствия ОТО
л
/2 Ф Ф0
2 0 Г d(V Г dO IdO
V-Vo=V2miU3-U1) і2 ) MT-] MT"
АФ
o
где Ф0 соответствует и = 0, а модуль эллиптических интегралов определяется формулой
^2 = ?-?- (6,2,12)
Если ввести полярный угол фт экстремальной точки, для которого каждое из равенств (6, 2, 11) дает
л
ф"-ф0= y2w(U8-Ul)
о о
то оба уравнения (6,2,11) можно объединить в одно:
(J-S--T-S-)' <6a'3>
л
^(J-S--J-S-). <«•¦<>
ф —Фт= ±
/2т (и3
которое показывает, что орбита имеет ось симметрии, проходящую через ее экстремальную точку и центр поля.
Рассмотрим две точки орбиты, симметричные относительно указанной оси. Согласно (6,2,11),
л
(І-S--J-S-)-
Ф —Ф
/2т (и2 — U1)
При и = 0, когда выбранные точки бесконечно удалены, получим угол между асимптотическими направлениями орбиты фо — Ф0 = = 2 (фм — фо). Равенство (6,2,13) показывает, что этот угол может оказаться сколь угодно большим. Действительно, при U2-** Uz модуль (6,2,12) стремится к единице, вследствие чего полный эллиптический интеграл в (6,2,13) неограниченно возрастает, тогда как неполный остается конечным.
