Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Если при данных ul9 u2t и3 выполняется неравенство
2ля<ф;- Фо < 2(п -f- 1)я, 2. Исследование орбит
203
то орбита имеет п двойных точек. Соответствующие им значения переменной Ф можно найти по формулам
ф
J-S--J
d<S>
ту 2т(U3-U1)]
t = 1,2,
(6,2,16)
АФ J АФ 2 о о
которые непосредственно вытекают из (6,2,15) при <р' —¦ <р = 2ш Полярные углы удовлетворяют соотношениям <р — Фо = (фт — — Фо) — ш> показывающим, что все двойные точки расположены на оси симметрии орбиты.
На рис. 20 изображена орбита класса С с тремя двойными точками. Вычисление ее выполнено при ft2 = 1, а = 4,000032 т.
Орбиты класса D. Переходим к исследованию орбит класса D, для которого полином / (и) имеет три вещественных корня и начальное значение U0 лежит в интервале (и19 и2).
Обозначим полярные углы точек ul9 U2 через ф('>, ф(2° И ПОЛОЖИМ ф<2*> > ф<'>. При увеличении полярного угла ОТ ф(/> ДО ф(/>
производная остается положительной, а
переменная и возрастает от U1 до U2. В точке ф'2 производная изменяет знак, и при дальнейшем увеличении полярного угла от Ф(х^ до ф(/+1>переменная и убывает от U2 до Рис 2о.
U1. Орбита данного класса расположена
между окружностями и = U19 и = U2 и соприкасается с ними в экстремальных точках. Пусть ф, ииф',и — две точки орбиты, соответствующие одинаковым значениям переменной U9 но отделенные двумя последовательными экстремальными точками и19 и2. Полярный угол первой из них, заключенный между ф^ и определяется формулой
ф—ф</>
1 Г du
У 2т J VJ(S)' «1
Для полярного угла второй точки, лежащего между ф^+1) и
фо +1)» ИМЄЄМ / Ut Uk
ф Уъп\ IiVm^Ivmj 204
Г лава VI. Основные следствия ОТО
Разность полярных углов
ua
ф' — ф = Г du
У 2т J Щ
uX
не зависит от координат этих точек; переменная и является периодической функцией полярного угла. Выполнив преобразование
и = "і + (Щ — "i) sin2 Ф,
найдем следующее выражение для периода:
л 2
P= 4 f (6,2,17)
/2т («з — U1) J АФ I * . /
Модуль эллиптического интеграла определяется, как и прежде, соотношением (6,2,12).
Период (6,2,17) может быть сколь угодно большим, так как при Ui-^-U3 модуль стремится к единице. Но он не может оказаться меньше 2я, поскольку при u1-* u2 модуль стремится к нулю, и потому P ^rL- при условии 0 < ot2 < 1, так как случай u1 = u2 воз-Va2 8
можен при -д- < Л2 < 1.
Рассмотрим отрезок орбиты, отвечающий одному периоду и ограниченный экстремальными точками u1. Положим u0 = u1 и обозначим полярный угол точки u2 через фт. Выполнив прежнее преобразование, получим
ф
2 С d<b ф<фт; Ф-Фо = ^—=Jt;
я
,2
_I9 Г dO С do \
=^d \ і дф ідф г
о
~2~ ф
9 I ~
ф> Фт' Ф — Фо =
/2т (и3-
Каждая из этих формул дает Фт— ф0 = у Р. Поэтому оба уравнения можно заменить одним
я
(j-S-J-fr). <6*18>
^O 0 '
ф - фт = ±
/2т (и3-U1) U АФ
показывающим, что прямая, проходящая через центр поля гравитации и точку u21 служит осью симметрии орбиты. 2. Исследование орбит
205
Разность полярных углов двух точек орбиты, симметричных относительно оси, равна
ф
D 4 Г dd>
(6,2,19)
Если эта разность окажется кратной 2я, то обе точки совпадают, образуя точку возврата. Предположим, что при заданных корнях полинома f (и) период удовлетворяет условию
2ля< Р< 2(/г+ 1) л,
где п — целое положительное число. В таком случае на рассматриваемом отрезке орбиты имеется п точек возврата. Значения переменной Ф, отвечающие этим точкам, находятся из соотношения
ф
Рис. 21.
J-S---^ОКаиКо, —Ih): *=1, ...,/1,(6,2,20)
о
которое следует из (6,2,19) при <р' — <р = 2яі. Все точки возврата расположены на оси симметрии.
В частном случае, когда период удовлетворяет условию P = = 2ля, орбита имеет п — 1 двойных точек и представляет собой замкнутую кривую. Если P < 4я, то на протяжении периода орбита имеет только одну точку возврата. Однако в последующих периодах орбита вновь пересекает данный отрезок, образуя на нем новые точки возврата, среди которых могут оказаться точки более высоких кратностей.
На рис. 21 построен график орбиты класса D с двумя точками
17
возврата. При вычислении принято: A2 = -jg-, а = 14,1518 т.
3. Приближенное уравнение орбиты. Составим приближенное уравнение орбит классов ChDb предположении, что все их точки достаточно удалены от центра поля гравитации.
Точное уравнение орбиты в форме (6,2,14) или (6,2,18) является общим для обоих классов. Полином f (и) имеет три вещественных корня, удовлетворяющих соотношению U1 + U2 + U3 =^. 206
Г лава VI. Основные следствия ОТО
Введя обозначения
_ 2 _ и2 — U1
«1+«. +
можно написать
Величина P0 характеризует линейные размеры орбиты. Считая этот параметр достаточно большим, сохраним в уравнении орбиты
только первую степень отношения — ,опуская более высокие степени.
Po
В данном приближении модуль эллиптических интегралов, входящих в точное уравнение орбиты, определяется, согласно (6, 2, 12),
формулой k2 = -^2-, а коэффициент правой части этого уравнения Po
