Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Воспользуемся внешним решением Шварцшильда (5,8,6). В главе VI, п. 1 мы получили первые интегралы уравнений геодезической линии в виде соотношений (6,1,4) — (6,1,6). При ds = 0 равенство (6,1,5) превращается в тождество, если положить h — оо. Таким образом, в рассматриваемом случае имеем
Эти уравнения и определяют распространение света в поле одного центра, помещенного в начале координат.
Разделим равенство (6,6,2) на возведенное в квадрат соотношение (6,6,1). Введя переменную и = -І-, получим дифференциальног уравнение
(<Пр")2 = 2ты3 и* + CT2.
На достаточно большом расстоянии от центра поля член 2ти? можно опустить. Решение дифференциального уравнения имеет в этой области вид и = Cf1Sin (со — <р), показывая, что вдали от центра световой луч превращается в прямую линию. Обозначив через а = C1 перпендикуляр, опущенный на эту прямую из центра
поля, напишем дифференциальное уравнение луча
(-?-)2 W - + (6'6'3>
Нетрудно убедиться в том, что трехчлен / (и) при и = 0 имеет максимум /макс = я~2, а при и = минимум /мин = я-2 — 27^2- По"
этому полином / (и) имеет: 1) при а < 3J/3т один вещественный отрицательный корень; 2) при а =3|/3т один отрицательный корень --и один двойной положительный корень -Tg-; 3) при а > 6. Распространение света в центральном поле гравитации
215
> 3J/3т — один отрицательный корень и два положительных, из
1
которых один находится в промежутке от нуля до gjjj-» а другой пре-1
восходит
Для лучей, расположенных вне гравитационной сферы, переменная и отвечает условию и <[ и может принимать лишь такие
значения, при которых полином f (и) неотрицателен. Поэтому переменная и может совпасть только с двойным корнем уравнения f (и) =0 при а = 3 j/3m или с меньшим из положительных корней при а > 3}/3т.
Переходим к исследованию формы луча. Согласно уравнению (6,6,3), имеем
/ du \2 ,, ч d*u 1 г, / V
Эти равенства показывают, что переменная и имеет максимум при / (и) = 0, f' (и) < 0. Если a = 3[/3т, то переменная и может совпасть лишь с двойным корнем полинома f («), когда выполняются равенства / (и) = f (") = 0. В этом случае и является монотонной функцией полярного угла. Если же а > 3J/3т, то указанные условия максимума выполняются при значении и, равном меньшему из положительных корней полинома f (и)\ переменная и имеет в этом
случае максимум, заключенный внутри интервала от нуля до
Рассмотрим случай а <. 3 ]/3т. Если а = 0, то, согласно (6,6,1), имеем <р = const: луч распространяется прямолинейно. Уравнение (6,6, 2) при соответствующем направлении распространения принимает вид
dr L 2 т\ dt V ~ г )
и имеет интеграл ег (г — 2Trtfm = Се~\ где С — постоянная интегрирования. Положив t Ooi находим г 2т: световой луч асимптотически приближается к гравитационной поверхности.
Если а = 3^3тг то уравнение луча (6,6,3) допускает решение и = const = определяющее круговую траекторию. Общее решение в этом случае таково:
, . , V3 + /6ти + 1 ф = const + In ~ _ \ ¦
/3 — Ve ти + 1
и при и дает ф оо, показывая, что луч распространяется 216
Г лава VI. Основные следствия ОТО
по спирали, асимптотически приближающейся к окружности и = _ і
3т '
При 0 < а < З УЗт находим
и
t = const + a~l I-—-=.
J м* (1 — 2ти) V f (u)
«Ф
Здесь и определяется положением источника излучения. При всяком и < интеграл, а следовательно, и время распространения луча, остаются конечными. Если же и то интеграл неограниченно возрастает, вследствие чего t оо. Световой луч заканчивается на гравитационной поверхности. Полярный угол конечной точки луча находится по формуле
2 т
Ф = Фо + J
du
УШ
вытекающей из уравнений (6,6,3).
Pt*c- 22- На рис. 22 изображены л>чи при
0<а< 3УЪт.
Переходим к случаю а > 3 VSm9 когда луч имеет экстремальную точку. Значения переменных <р, U9 соответствующие этой точке, обозначим через фм, Um. Полярные углы ф, ф' точек, лежащих по обе стороны от точки экстремума, определяются формулами
и
Ф = Фо + J
du
УШ'
ф' — Фо + 2
Г
du
_ Г йи
УШ }УШ'
Через фо обозначен полярный угол начальной точки и = 0. В рассматриваемом случае цолином f (и) имеет три вещественных корня. Обозначим их в порядке возрастания^ерез ul9 u2t U3 и введем новую переменную Ф при помощи соотношения
U = ^ + (U2-U1)SirPO, 6. Распространение света в центральном поле гравитации
220
из которого получаем
УЩ = (и2 — u1) ]/2ш (и3 — u1) (I — k2 sin2Ф) sinOcosФ,
k2 __ U2-U1 Uz-Ul
Принимая во внимание, что ит = u21 можно переписать уравнение луча следующим образом:
/Ф Ф0 2 / f do [dO
Ф = Фо +
/ W
У2Pi(U9-Ul) \д АФ J ДФ
Jl
где для краткости принято ДФ = УI — &2sin2 Ф, а через Ф0 обо~ значена величина новой переменной, отвечающая и = 0.
Пусть фо — полярный угол второй бесконечно удаленной точ-ки луча. Значение его находится из (6,6,4) при Ф = Ф0. Разность полярных углов асимптотических направлений определяется, соотношением
iL
(2 Фо \
Iw-JwJ- (6'6<5>
Если а достаточно близко к 3]/1їт, то эта разность может быть-сколь угодно большой. Действительно, при а 3|/3т имеем U1
