Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
--U2-+ U3-* , вследствие чего k2 1, Ф0
aresin -у=.. Поэтому полный эллиптический интеграл в (6,6,5) не-
уз
ограниченно возрастает, тогда как неполный стремится к конечному пределу.
Обозначим через п целое число, удовлетворяющее при данном а условию
2птс < фо — фо < 2 (п + 1) я.
Луч имеет п двойных точек. Соответствующие им значения переменной Ф определяются формулами
л
Ф 2
IЖ = I Ж ~~ 'TV^m(U3-U1); і = 1, ...,я, (6,6,6) 218
Г лава VI. Основные следствия ОТО
которые легко находятся из (6,6,4), если положить ф' — ср = 2пі. Вычисление этих значений не представляет затруднений.
Отыскав корни функции / (и)* и вычислив модуль эллиптическо-
ф
с dd>
го интеграла, найдем п значении интеграла J с помощью соот-
данным k, получим искомые величины переменной Ф,. Координаты двойных точек определяются следующим образом:
Щ = "і + («2 — "i) sin2 Ф,.; Ф/ = 4" (Фо + Фо) — яі.
На рис. 23 изображен луч, имеющий одну двойную точку. С — центр поля; CA и CB — асимптотические направления. При построении графика принято: т =2,5, а = 12,995, <р0 =0. Вычисления дают: <р' =640°, T1 =8,55^ = 110°, rm = 7,6, фт =320°.
Если при заданном а > 3[/3т окажется, что фо — Фо = 2я, то асимптотические направления совпадают: луч имеет бесконечно удаленную двойную точку.
На рис. 24 изображен луч без двойных точек. При вычислении лринято: т = 2,5, а ~ 13,7.
* Это можно сделать по формулам
I ( ф + 2лі \
и = -Ш[ 1+2соз-^з—); і = 0,1,2,
і г. т2
где cos == I — 54 —* 6. Распространение света в центральном поле гравитации
219
Предположим, что т < а. В этом случае для корней полинома } (и) можно принять приближенные значения
_ т 1 __ т I _ I 2т
u^ = W — T ; "г - "Г + —; и* - — "J2" . при помощи которых находим
1 I т ^ ?2 4fTl . ф _
V2т (и3 - "i) а ' а ' 0 4 2а '
Л
фо 2
Г ЛФ _?/, , т \__т_ Г <*Ф __ _я_ / - т \
J АФ 4 ( ' a J J ДФ "" 2 а '
OxO 7
Угол между асимптотическими направлениями (6,6,5) оказывается равным 4т
6==~- (6,6,7)
Этой формулой Эйнштейна [1] определяется основной оптический эффект ОТО — искривление светового луча, проходящего вблизи массивного тела. В единицах системы CGS формула Эйнштейна имеет вид
л 4 уМ
o = "ЛГ • (6,6,8)
Для луча, касательного к краю Солнца, угол отклонения составляет 1 ,75.
Найдем приближенное уравнение луча при т < а.
Как указывалось, экстремальная точка луча определяется условием и = U2, из которого следует Ф =s -і-. Для полярного угла спой точки каждая из формул (6,6,4) дает
я
(2 Фо \
С do Г # } ДФ-) -SFj-
Поэтому обе формулы можно заменить одним уравнением
К2„(Цз-Ц1) У АФ-Ы1- (РА»)
Входящий в это равенство эллиптический интеграл приближенно выражается формулой 220
Г лава VI. Основные следствия ОТО
Следовательно, вместо (6,6,9) можно написать следующее приближенное уравнение:
± (Ф - Ф J = * - 2Ф 4- -J- siп 2Ф,
откуда с той же степенью точности вытекает
cos (ф — фш) = — cos 2Ф — ~ sin2 2Ф.
Ограничиваясь первой степенью отношения -J-, имеем
cos (ф — Фт) = - cos 2Ф—J- sin2 (ф — Фт). Исключив переменную Ф, окончательно получим
а = T + -Tcos^ (6Д10>
где принято
0 = + Sin2fo —фт)Ь
Вблизи центра гравитации, когда Ф — Фт 0, кривая (6,6,10) отвечает уравнению
1 + "Ifcos (ф —фт)
и совпадает с гиперболой, имеющей эксцентриситет и вещественную полуось т.
Вдали от центра, когда ф — фт ~ 4р световой луч имеет форму гиперболы
2а2
1+ — cos (ф — фш)
с эксцентриситетом и вещественной полуосью
Угол между асимптотами первой гиперболы равен G1 = тогда как асимптоты второй гиперболы образуют угол G2 = совпадающий с (6,6,7). На рис. 25 изображены обе предельные гиперболы и расположенный между ними луч. Графики построены для т = 2,5, а = 10. 6. Распространение света в центральном поле гравитации
221
В принятом приближении первая гипербола совпадает с ньютоновой. Действительно, уравнение гиперболической орбиты в поле тяготения центральной массы M имеет вид
г_ Aif-1)
1 + е COS (ф — фш) '
где действительная полуось А связана со скоростью соотношением
*-ум(-f+ -І-).
а эксцентриситет выражается формулой
VArTa2
Є = А '
в которой а — длина перпендикуляра, опущенного из фокуса на асимптоту.
Положив V == С при г = OO и вводя ре-
A УМ
лятивистские единицы, получим А =-i^- =
V т2 + а2 а
= т. е = -- =-.
' т т
Искривление световых лучей вблизи массивного тела является одним из основных эффектов ОТО, доступных эмпирической провер- , * *е. Угол отклонения луча определяют, изме- N I Ш H ряя смещения звезд на фотографиях, сделан- Puc 25. ных во время полного солнечного затмения. Наибольшее смещение (Г,75) должна испытать звезда, наблюдающаяся непосредственно у края солнечного диска. Однако практически приходится довольствоваться звездами, расположенными на тех «ли других расстояниях от края Солнца. Измеренные при этом смещения нетрудно редуцировать на край солнечного диска.
Впервые формула (6,6,8) проверялась по наблюдениям солнечного затмения 29 мая 1919 г. Измерение фотографий, сделанных на трех различных инструментах, позволило получить три независимые оценки. Две из них составили Г,98 ± 0",12 и Г,61 ±0",3, что очень хорошо согласуется с теоретическим значением. Третья дала О",86 ± GrfIf т. е. только половину ожидаемого значения. Однако эта оценка считается гораздо менее уверенной, поскольку она основана на фотографии, полученной в очень неблагоприятных условиях.
