Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
209
где через Xа обозначена совокупносгь остальных членов, которые представляют поправки ОТО к закону движения Ньютона.
Уравнения (6,4,1) определяют движение частицы под действием центральной ньютоновой силы и возмущающего ускорения с декартовыми проекциями XtYtZ. С точностью до членов второго порядка включительно эти проекции можно вычислить по формулам
уо І д ,і „ . 1 , dh44 (dhoi\ dx*
, Mqq dxa dx°__1_ Mgg ( dx* ? ^44 dx" dx° fi Q
+ dxa di dt 2 dxo [ dt J + dx« dt dt •
Пусть Rf St W — проекции возмущающего ускорения на радиус-вектор, на перпендикуляр к нему и на нормаль к плоскости орбиты соответственно. Обозначив через Al9Otv.^, ?,, ?2, ?s» Ti» Т2» Тз углы, образованные направлениями R9 S9 Wc осями декартовых координат, имеем
R = X cos Ot1 + Y cos а2 + Z cos а3;
S = X cos ?j + Y cos ?2 + Z cos ?3; (6,4,3)
W = XcosYi + Y COSY2 + Zcosy3.
Если ось X проходит через восходящий узел орбиты спутника, то эти углы находятся с помощью соотношений
cos CL1 = cos (о) + ф); cos а2 = sin (w -f- ф) cos і; cos а3 =
= sin (а) + ф) sin t;
cos ?x = — sin (со -f- ф); cos ?2 = cos (ю + ф) cos і; cos ?3 =
= cos (cd + ф) sin i\
cos Yi = 0; cos Y2 = — sin i\ cos Y3 = cos i,
где © — угол между линией узлов и осью апсид орбиты, і — наклонность орбиты спутника к экватору планеты, ф — истинная аномалия, т. е. полярный угол спутника, отсчитанный от линии апсид.
Для вычисления величин (6,4,2) воспользуемся решением (5,16,5), которое напишем в виде
и и и 2т , 4 У
пп = Ai22 = п33 =--—; Ai14 = -g- Hi(S)0Ko —;
и 4 pj2 X
л24 = —g- m(i)0i<o —;
. ,Ofn 2m2 2mo>^ /0 .
Al44 + 2ф - -J5 ^- + —г - -Jf- J .
14 а. Ф.
Богородский 210
Г лава VI. Основные следствия ОТО
Через со0, R0 обозначены угловая скорость и радиус планеты; т г= J^l, где у — гравитационная постоянная, с —скорость света,
M — масса планеты.
Координаты спутника с достаточной точностью определяются по формулам
je = г cos (со -Ь ф)'> у = г sin (ю + ф) cos і\ г == г sin (со + ф) sin і;
1 + е COS ф
Найдя декартовы проекции возмущающего ускорения по формулам (6,4,2), вычислим затем величины (6,4,3). После ряда необходимых преобразований, которые мы здесь не приводим, получим
і з
n т2 2 , 1— е2+ Ae2 Sln2 , 4 T T п2 .1
R=—[— +-—р-+ т GvRocost7r-
SmcolRi, Л 0 --5^- + -35^- [3 Sin2 (со + ф) sin2 / - 1];
о 4 т2 . 4 2 2 г»2 1
S = —j— е sin ф--р т Co0Ko е cos і sin ф --
--ШГ mw^o sin2 isin (0 + Ф) cos (0 + Ф) ~7Г; (6.4,4)
— -L JL
W = -JT р 2 т 2 со0/?о sin і [— е sin © + (2 + Зе cos ф) sin (со + ф)]
б/жо«/?! 1 --35— s*n ' cos * s*n ^co + ?) TT "
Для исследования релятивистских возмущений в движении спутника применяется метод вариаций элементов классической небесной механики. Воспользуемся им в форме системы уравнений (1,6,3), которые определяют оскулирующие элементы орбиты в функциях истинной аномалии. При этом, в соответствии с принятым обозначением, следует положить (і = т. Общее исследование уравнений для оскулирующих элементов не представляет интереса, так как периодические изменения элементов исчезающе малы. Заслуживают внимания только вековые эффекты, вызывающие монотонные изменения элементов. Поскольку поле тяготения равномерно вращающейся планеты стационарно, для оценки вековых эффектов достаточно интегрировать уравнения (1,6,3) в пределах одного обращения спутника. 4. Движение спутника вращающейся планеты
211
Внесем (6,4,4) в первое из уравнений системы (1,6,3). Выполнив необходимые упрощения, получим уравнение, определяющее движение линии узлов: і
dQ 4^ 2 «о^о
[— е sin CD + (2 + Se COS ф) sin (?0 + ф)] X
6(O20R40
X sin (о) + ф)--35р2 COS І (1 + е COS ф) sin2 (<o + ф).
Интегрируя его в указанных пределах, найдем следующее выражение для угла поворота линии узлов в течение одного обращения спутника:
8лт2 Co0R20 6ло)Х AQ =-1----- cost.
5Р2
Отношение второго члена к первому по абсолютной величине не
_3_ __1_ __1_
превышает g)0/?0 2 (уМ) 2 ^ 200 ©0р 2 , где р — средняя плотность центрального тела. Для тел Солнечной системы второй член пре-небрежим. В случае Земли (со0 = 7,3 • 10~5 Ceifx9 р = 5,52 г/см3) величина указанного отношения менее 6,2 • 10 3; даже для быстро вращающегося Юпитера (со0 = 1,8 • Ю-4 CeiC19 р = 1,33 г/см3) она не превосходит 3,1-IO"2.
Аналогично находятся вековые изменения других элементов орбиты. Второе, четвертое и пятое уравнения системы (1,6,3) после соответствующих преобразований и интегрирования по истинной аномалии дают Ai = Да = Де = 0. С помощью третьего уравнения этой системы получаем
j_
д 6лт 24лт2 Co0R0 До) = —---г-cos і.
P L
5 P2
Первый член представляет собой выражение обычного релятивистского поворота линии апсид в задаче Кеплера. Второй член определяет дополнительный поворот этой линии, обусловленный вращением центрального тела и зависящий от наклонности орбиты спутника к экватору центрального тела.
Вариация в моменте прохождения спутника через вершину орбиты вычисляется из соотношения At =--—, так как большая
