Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
п
полуось орбиты не испытывает векового изменения. 14* 212
Г лава VI. Основные следствия ОТО
Таким образом, вековые релятивистские эффекты в элементах орбиты, отнесенные к одному обращению спутника, находятся по следующим формулам:
Aa = Ae — Ai = 0;
д 6луM 24я (уМ)2 U0R20 cost
= rbn i\_л2\---з-з-(6'4'5)
съа (1 —б2) JL
5с2а2 (1-е2)2
і
і
AQ= 8Л(2М) 2 ; At = (5-2 ^Т^).
5с2а2 (1 -a2 C8(I-Ca)2
Все величины в (6,4,5) выражены в единицах системы CGSt Aw и AQ — в радианах.
Иллюстрируем полученные формулы числовыми примерами. Положив a = R0 = 6,4- IO10 см, е = 0, (о0 = 7,3-10~~5 сис~\ найдем предельные значения релятивистских вариаций элементов орбиты спутника Земли. За столетие они составят
Aw = 1660" — 74" cos f; AQ = 25"; At = 33 сек.
Обычный релятивистский эффект в движении линии апсид достаточно велик (для искусственного спутника Земли, движущегося со значительным периодом обращения, он может составить около 1000" в столетие), тогда как эффекты вращения, обнаружение которых представило бы особенно большой интерес для ОТО, оказываются малыми из-за относительно медленного вращения Земли. Эти эффекты значительно больше в поле тяготения Юпитера. Для V спутника этой планеты (а = 1,81-Ю10 см, е = 0,003, і = 3°, 1) второй член в выражении Ао> составляет около 1200" в столетие, что почти в 30 раз превосходит обычное релятивистское перемещение перигелия Меркурия за то же время. К сожалению, имеющиеся в настоящее время данные наблюдений недостаточны для проверки этого эффекта ОТО.
5. Задача двух тел в общей теории относительности. Рассмотренная в начале этой главы задача о движении частицы в поле гравитации одного центра представляет собой релятивистское обобщение ограниченной задачи двух тел механики Ньютона, в которой предполагается, что относительная масса одного из тел пренебрежимо мала. Полученное решение с достаточной точностью можно отнести к гелиоцентрическому обращению планет, к движению естественного или искусственного спутника относительно планеты и к другим системам, состоящим из двух тел с сильно различающимися массами. Для системы двух тел со сравнимыми массами, например для двой- 5. Задача двух тел в общей теории относительности
213
ной звезды, необходимо изучить общую задачу двух тел, которая оказывается в ОТО весьма сложной и до сих пор не имеет полного решения.
В предыдущей главе мы видели, что система точечных масс с произвольным законом движения не удовлетворяет уравнениям поля ОТО. Уравнения поля допускают интегрирование с точностью до членов второго порядка включительно лишь в том случае, если движение масс отвечает закону Ньютона. Таким образом, закон движения Ньютона можно рассматривать как условие интегрируемости уравнений поля Эйнштейна во втором приближении. В свою очередь, закон движения во втором приближении (т. е. с релятивистскими поправками к закону Ньютона) является условием интегрируемости уравнений поля ОТО с точностью до членов третьего порядка. Как указывалось, такой метод вывода закона движения взаимодействующих точечных масс впервые был развит в известной работе Эйнштейна, Гофмана и Инфельда.
Ограниченная задача двух тел, названная нами задачей Кеплера, имеет в ОТО исчерпывающее решение, позволяющее изучить все типы возможных орбит. Что же касается общей задачи двух тел, то в указанной ее постановке имеется возможность выполнить только приближенный анализ различных особенностей движения в предположении, что расстояние между телами остается достаточно большим и поэтому релятивистские эффекты в их движении малы. Главным из этих эффектов, который может представить практический интерес, является движение линии апсид периодической орбиты. Отсылая читателей к монографии В. А. Фока 151, в которой подробно изучается задача о движении двух массивных тел, мы приведем здесь только конечную формулу, определяющую величину этого эффекта. В течение одного обращения линия апсид орбиты поворачивается в прямом направлении на угол
д _ 6яу (M1+ M2)
ЛО-ві) ' ^0'1'
где M1, M2 — массы тел системы, а не — большая полуось и эксцентриситет относительной орбиты.
В принципиальном отношении это обобщение формулы Эйнштейна представляет значительный интерес. Практически же формула (6,5,1) не может быть проверена наблюдениями, поскольку в движении двойных звезд обнаружить столь тонкий эффект в настоящее время невозможно.
6. Распространение света в центральном поле гравитации. Распространение света в гравитационном поле определяется принципом геодезической линии и условием ds = 0, которое переносится в ОТО из СТО на основе принципа эквивалентности. Особого внимания заслуживает задача о распространении светового луча в статическом 214
Г лава VI. Основные следствия ОТО
поле одного центра, поскольку именно к этому случаю относится известный оптический эффект ОТО (отклонение лучей в поле тяготения Солнца), который допускает проверку путем наблюдений.
Приближенное рассмотрение задачи, приводящее к известной формуле Эйнштейна для угла отклонения светового луча в центральном поле гравитации, можно найти почти в каждом руководстве по ОТО. Ниже приводится подробное исследование формы луча в указанном поле, выполненное автором с помощью эллиптических интегралов [61. Основные типы лучей иллюстрируются графиками.
